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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:34 Do 27.10.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab hier einen Beweis, bei dem ich mir nicht sicher bin, ob ich das richtig gemacht habe. Ich hoffe, dass mich jemand korrigieren wird, falls etwas nicht richtig sein sollte.
Aufgabe:
Man zeige für eine nichtleere Teilmenge [mm] A_{0} [/mm] einer Booleschen Algebra A die Äquivalenz von
1. [mm] A_{0} [/mm] ist Unteralgebra von A
2. [mm] A_{0} \cup A_{0} \subset A_{0} [/mm] und [mm] \overline{A}_{0} \subset A_{0} [/mm] mit [mm] \overline{A}_{0} [/mm] ist das Komplement zu [mm] A_{0}
[/mm]
3. [mm] A_{0} \cap A_{0} \subset A_{0} [/mm] und [mm] \overline{A}_{0} \subset A_{0}
[/mm]
4. [mm] A_{0} [/mm] | [mm] A_{0} \subset A_{0} [/mm] mit x|y := [mm] \overline{(x \cap y)}, [/mm] x,y [mm] \in [/mm] A beliebig
5. [mm] \overline{A_{0} \cup A_{0}} \subset A_{0} [/mm] mit x,y [mm] \in [/mm] A beliebig
(1) [mm] \to [/mm] (2):
Sei [mm] A_{0} [/mm] Unteralgebra von A.
Sei x,y [mm] \in A_{0}. [/mm] Da [mm] A_{0} [/mm] Unteralgebra von A ist, gilt: x [mm] \cup [/mm] y [mm] \in A_{0}, [/mm] x [mm] \cap [/mm] y [mm] \in A_{0}, \overline{x}, \overline{y}, \overline{x \cup y }, \overline{x \cap y } \in A_{0}, [/mm] also folgt daraus (2).
(2) [mm] \to [/mm] (3):
Gelte (2). [mm] \overline{A}_{0} \subset A_{0} [/mm] gilt nach Voraussetzung also bleibt nur noch [mm] A_{0} \cap A_{0} \subset A_{0} [/mm] z.z.
Sei x [mm] \cup [/mm] y [mm] \in A_{0}. [/mm] Da [mm] \overline{A}_{0} \subset A_{0} [/mm] gilt [mm] \overline{x \cup y} \subset A_{0}. [/mm] Nach de-Morgan-Regel folgt [mm] \overline{x} \cap \overline{y}. [/mm] Da x [mm] \cup [/mm] y \ in [mm] A_{0}, [/mm] ist auch x,y [mm] \in A_{0} [/mm] also auch [mm] \overline{x}, \overline{y} \in A_{0} [/mm] (wg. Voraussetzung). Daher ist auch [mm] \overline{x} \cup \overline{y} \in A_{0} [/mm] und [mm] \overline{\overline{x} \cup \overline{y}} [/mm] \ in [mm] A_{0} [/mm] . Nach de-Morgan-Regel folgt [mm] \overline{x \cap y} \in A_{0}, [/mm] also auch [mm] \overline{\overline{x \cap y}} [/mm] = x [mm] \cap [/mm] y [mm] \in A_{0}.
[/mm]
(3) [mm] \to [/mm] (4):
Gelte (3). Sei x [mm] \cap [/mm] y [mm] \in A_{0} [/mm] mit [mm] \overline{x \cap y} \in A_{0}. [/mm] Daraus folgt unmittelbar die Beh. [mm] \overline{x \cap y} [/mm] = x | y [mm] \in A_{0}.
[/mm]
(4) [mm] \to [/mm] (5):
Gelte (4). Sei [mm] \overline{x \cap y} \in A_{0}, [/mm] nach de-Morgan gilt [mm] \overline{x} \cup \overline{y} \in A_{0}. [/mm] Daraus folgt: [mm] \overline{x}, \overline{y} \in A_{0}. [/mm] Dann: [mm] \overline{x} [/mm] | [mm] \overline{y} [/mm] = [mm] \overline{\overline{x} \cap \overline{y}} [/mm] = [mm] \overline{\overline{x}} \cup \overline{\overline{y}} [/mm] = x [mm] \cup [/mm] y [mm] \in A_{0}.
[/mm]
Dann ist (x [mm] \cup [/mm] y) | (x [mm] \cup [/mm] y) [mm] \in A_{0}, [/mm] also [mm] \overline{(x \cup y) \cap (x \cup y)} [/mm] = [mm] \overline{(x \cup y)} \in A_{0}, [/mm] also die Beh.
(5) [mm] \to [/mm] (1):
Gelte (5), also ist [mm] \overline{(x \cup y)} \in A_{0}. [/mm] Nach de Morgan folgt [mm] \overline{(x \cup y)} [/mm] = [mm] \overline{x} \cap \overline{y} \in A_{0}.
[/mm]
Weiter ist [mm] \overline{\overline{(x \cup y)} \cup \overline{(x \cup y)}} [/mm] = [mm] \overline{(\overline{x} \cap \overline{y}) \cup (\overline{x} \cap \overline{y})} [/mm] = [mm] \overline{(\overline{x} \cap \overline{y})} [/mm] = x [mm] \cup [/mm] y [mm] \in A_{0}
[/mm]
Daraus folgt auch x,y [mm] \in A_{0}, [/mm] also auch x [mm] \cap [/mm] y [mm] \in A_{0}.
[/mm]
Weiter ist [mm] \overline{(x \cup y) \cup (x \cup y)} [/mm] = [mm] \overline{(x \cup y)} [/mm] = [mm] \overline{x} \cap \overline{y} \in A_{0}, [/mm] also ist auch [mm] \overline{x}, \overline{y} \in A_{0}.
[/mm]
Weiter ist [mm] \overline{(x \cap y) \cup (x \cap y)} [/mm] = [mm] \overline{(x \cap y)}.
[/mm]
Also ist (1) gezeigt.
Stimmen die Schritte alle? Falls nicht, bitte ich um Korrektur. Ich bin mir vor vorallem beim letzten Schritt sehr unsicher, ob das richtig ist, was ich da gemacht hab.
Vielen Dank für die Hilfe.
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Do 03.11.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Moe!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht (vollständig) in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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