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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Man zeige:
Für eine Matrix A 2 [mm] \IK^{n×n} [/mm] sind äquivalent:
a) A* = [mm] A^{-1}
[/mm]
b) Die Spalten von A bilden eine Orthonormalbasis des [mm] \IK^n.
[/mm]
c) Die Zeilen von A bilden eine Orthonormalbasis des [mm] \IK^n. [/mm] |
Ich habe mir überlegt, dass man die Äquivalenz zeigen kann, indem man alle Aussagen darauf zurückführt, dass es sich um die Einheitsmatrix handeln muss.
Allerdings habe ich das Problem, dass ich das aus a) nicht wirklich herleiten kann.
Ich komme soweit dass ich sage:
[mm] A^{\*}=A^{-1} [/mm] => [mm] A^{\*}*A=A^{-1}*A=E [/mm] also [mm] A^{\*}*A=E
[/mm]
Allerdings bin ich jetzt mit meinem Latein am ende. :(
Wie kann ich hier zeigen, dass A = E gelten muss???
bei b) und c) ist das nicht weiter schwer. Orthonormalbasis heißt die Einträge müssen normiert sein und othogonal aufeinander. Also das Produkt zweier Zeilen bzw. Spalten muss 0 ergeben. Daraus folgt, dass es sich um eine Einheitsmatrix E handeln muss. Oder?
Ich habe diese Frage in keinem andern Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mi 09.05.2007 | | Autor: | statler |
> Man zeige:
> Für eine Matrix A 2 [mm]\IK^{n×n}[/mm] sind äquivalent:
> a) A* = [mm]A^{-1}[/mm]
> b) Die Spalten von A bilden eine Orthonormalbasis des
> [mm]\IK^n.[/mm]
> c) Die Zeilen von A bilden eine Orthonormalbasis des
> [mm]\IK^n.[/mm]
> Ich habe mir überlegt, dass man die Äquivalenz zeigen
> kann, indem man alle Aussagen darauf zurückführt, dass es
> sich um die Einheitsmatrix handeln muss.
Das muß es überhaupt nicht! Nimm
[mm] \pmat{ sin\alpha & cos\alpha \\ -cos\alpha & sin\alpha }
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
Aber wie zeige ich das dann?? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mi 09.05.2007 | | Autor: | statler |
Indem du dir A* A = E mal hinschreibst und guckst, was denn da so links und rechts steht.
Ciao
Dieter
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