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So, eine Aufgabe auf meinem Blatt bereitet mir noch Probleme. Seit zwei Tagen probiere ich immer mal wieder an einer Äquivalenz herum, allerdings will mir die eine Richtung partout nicht gelingen, egal, wie ich es anstelle ...
Es geht um folgendes:
Es seien w, z [mm]\in \IC[/mm]. Zeigen Sie:
[mm]\left|w-z\right| = \left|1-\bar{w}z\right| <=> \left|z\right| = 1 oder \left|w\right| = 1, \bar{w}z \ne 1[/mm]
Die Rückrichtung habe ich, aber bei der Hinrichtung komme ich einfach nicht weiter ... Ich habe zwar die Vermutung, dass es wohl Sinn machen würde, das Ganze als Bruch zu schreiben und dann die Betragstriche statt oben und unten gesamt zu ziehen, aber auch dann komme ich immer wieder in eine Sackgasse ...
Weiß jemand einen Ansatz?
Vielen Dank
Katinka
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Kalinka!
Leider bin ich mir nicht ganz sicher, was du zeigen willst. Soll das
[mm]\left|w-z\right| = \left|1-\bar{w}z\right| <=> \left(\left|z\right| = 1\mbox{ oder }\left|w\right| = 1\right)\mbox{ und }\bar{w}z \ne 1[/mm]
heißen oder
[mm]\left|w-z\right| = \left|1-\bar{w}z\right| <=> \left|z\right| = 1\mbox{ oder }\left(\left|w\right| = 1\mbox{ und }\bar{w}z \ne 1\right)[/mm]?
Wahrscheinlich eher zweiteres, ansonsten wäre $z=w=1$ ein Gegenbeispiel...
Abgesehen davon folgt unter der Bedingung, dass [mm] $\bar [/mm] wz=1$, dass $|w|=1$, und nicht $|z|=1$.
Vielleicht verkucke ich mich auch einfach, aber könntest du vielleicht nochmal in deiner Angabe nachsehen?
Gruß, banachella
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Hallo!
Also, Voraussetzung ist, dass [mm]\bar{w}z \ne 1[/mm], somit fällt dann das Gegenbeispiel w=z=1 schonmal raus. Unter dieser Voraussetzung soll ich zeigen, dass folgende Aussage gilt:
[mm](\left|w-z\right| = \left|1-\bar{w}z\right|) => (\left|z\right| = 1 oder \left|w|\right = 1)[/mm]
Ist es jetzt verständlicher?
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Da [mm] $|w-z|=|1-\bar [/mm] wz|$ ist [mm] $|w-z|^2=|1-\bar wz|^2$ [/mm] gilt:
[mm] $|w-z|^2=(w-z)(\bar w-\bar z)=|w|^2-z\bar [/mm] w - [mm] \bar [/mm] z [mm] w+\|z\|^2$
[/mm]
und
[mm] $|1-\bar wz|^2=1-\bar wz-w\bar z+|w|^2|z|^2$.
[/mm]
Insgesamt:
[mm] $0=|w-z|^2-|1-\bar wz|^2=|w|^2-z\bar [/mm] w - [mm] \bar [/mm] z [mm] w+\|z\|^2-1+\bar wz+w\bar z-|w|^2|z|^2=(1-|w|^2)(1-|z|^2)$
[/mm]
Gruß, banachella
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Ach, wie doof. Mit diesen Operationen hatte ich auch schon rumprobiert, aber darauf bin ich leider so gar nicht gekommen.
Vielen, vielen Dank! :)
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