Äquivalenz von Normen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:28 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Äquivalenz von Normen eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Normen auf X ist. |
Hi an alle,
hab ein paar Rechenschwierigkeiten. Könnt ihr mir bitte helfen.
Vielen DANK schonmal im Voraus.
Äquivalenzrelationen sind reflexiv(i), symmetrisch(ii) und transitiv(iii).
(i) c [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ' [mm] \le [/mm] C [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm]
mit dieser gleichung ist das doch eher unsinn oder nicht? ebenso dann auch (ii) und (iii)
kann mir jedmand bitte die Gleichung nennen mit der ich die Eigenschaften nachweisen muss/kann.
Dankeschön.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Fr 17.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweisen Sie, dass die Äquivalenz von Normen eine
> Äquivalenzrelation auf der Menge aller Normen auf X ist.
> Hi an alle,
> hab ein paar Rechenschwierigkeiten. Könnt ihr mir bitte
> helfen.
> Vielen DANK schonmal im Voraus.
>
>
> Äquivalenzrelationen sind reflexiv(i), symmetrisch(ii) und
> transitiv(iii).
>
> (i) [mm] c\parallel x \parallel \le \parallel x\parallel '\le C \parallel x \parallel[/mm]
Was hat diese Ungleichungskette mit der Reflexivität zu tun?
> mit dieser gleichung ist das doch eher unsinn oder nicht?
> ebenso dann auch (ii) und (iii)
> kann mir jedmand bitte die Gleichung nennen mit der ich
> die Eigenschaften nachweisen muss/kann.
Du hast eine Relation, nennen wir sie [mm] $\sim$: [/mm] zwei Normen [mm] $\|\cdot\|_1$ [/mm] und [mm] $\|\cdot\|_2$ [/mm] sind äquivalent, also [mm] $\|\cdot\|_1\sim\|\cdot\|_2 [/mm] $, genau dann, wenn es zwei reelle Zahlen c,C gibt, sodass für alle [mm] $x\in [/mm] X$ gilt: [mm] $c\|x\|_1\le \|x\|_2 \le [/mm] C [mm] \|x\|_1$. [/mm]
Du sollst zeigen, dass [mm] $\sim$ [/mm] eine Äquivalenzrealtion ist. Die drei Bedingungen hast du ja schon hingeschrieben. Die Reflexivität heisst, dass für eine beliebige Norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] gilt: [mm] $\|\cdot\|\sim\|\cdot\|$. [/mm] Jetzt setzt du die Definition der Relation ein: du musst nachweisen, dass es reelle Zahlen c,C gibt, sodass für alle [mm] $x\in [/mm] X$ gilt: [mm] $c\|x\|\le \|x\| \le [/mm] C [mm] \|x\|$.
[/mm]
Die anderen Bedingungen gehen analog.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:10 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Ultio |
Dankeschön.
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