Äquivalenz von Irreduzibel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Sa 21.04.2007 | | Autor: | toppy |
| Aufgabe | Sei f [mm] \in [/mm] K[x] mit grad f >= 1. Man zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) f ist irreduzibel
(b) Für alle g, h [mm] \in [/mm] K[x] so, dass f | gh, folgt f | g oder f | h |
Hallo.
Ich zeige die Richtung (a) => (b):
Sei f [mm] \in [/mm] K[x] und irreduzibel mit grad f >=1. So folgt aus f = gh bereits grad g = 0 oder grad h = 0 mit g, h [mm] \in [/mm] K[x].
Seien nun s, t [mm] \in [/mm] K[x] so, dass gilt f | st. Das bedeutet, dass ein p [mm] \in [/mm] K[x] existiert mit st = pf. Nun gilt aber auch, falls f | g gilt g = qf und falls f | h gilt h = pf. Also gilt nun bereits f | g oder f | h.
Kann man das so machen?
Hat jemand eine Idee für die Rückrichtung, da bin ich noch ein wenig ratlos.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Di 24.04.2007 | | Autor: | komduck |
Elemente mit der Eigenschaft (b) nennt man auch Primelemente.
(a) => (b) gilt in ZPE Ringen
(b) => (a) gilt in Integritätsringen.
Integritätsringe sind Ringe in den gilt
Es gibt keine Nullteiler:
[mm] a\*b [/mm] = 0 => a=0 [mm] \vee [/mm] b=0
ZPE Ringe (oder auch faktorielle Ringe) sind Integritätsringe
in dem die Zerlegung in Primelement eindeutig ist.
K[x] ist ein ZPE Ring.
Um zuverstehen was bei (a) => (b) zu tun ist gebe ich ersteinmal ein Beispiel
für (a) => (b) gilt nicht:
In [mm] \IZ [\wurzel{3}] [/mm] gilt :
4 = 2 * 2 = [mm] (1+\wurzel{3}) [/mm] * [mm] (1-\wurzel{3}) [/mm]
Wir haben hier 2 ist irreduzibel und teilt [mm] (1+\wurzel{3}) [/mm] * [mm] (1-\wurzel{3})
[/mm]
aber 2 teilt weder [mm] (1+\wurzel{3}) [/mm] noch [mm] (1-\wurzel{3})
[/mm]
Wenn aber die Zerlegung in Primelement eindeutig ist dann gilt:
f | g [mm] \* [/mm] h <=> [mm] \exists [/mm] m : m [mm] \* [/mm] f = g [mm] \* [/mm] h
Wenn nun f weder in g noch in h als Faktor vorkommt, dann
hätten wir zwei verschiedene Zerlegungen von g [mm] \* [/mm] h.
Für die andere Richtung benötigen wir die Nullteilerfreiheit:
Wir nehmen an (a) gilt nicht. Also f [mm] \not= [/mm] 0
sei zerlegbar
f = g [mm] \* [/mm] h wobei weder g noch h invertierbar ist.
mit (b) gilt dann:
f | g [mm] \vee [/mm] f | h ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an
f | g also gibt es ein m mit f [mm] \* [/mm] m = g
also gilt :
f [mm] \* [/mm] m [mm] \* [/mm] h = g [mm] \* [/mm] h
f [mm] \* [/mm] m [mm] \* [/mm] h = f
f [mm] \* [/mm] m [mm] \* [/mm] h - f = 0
f [mm] \* [/mm] (m [mm] \* [/mm] h - 1) = 0
da f [mm] \not= [/mm] 0 gilt
(m [mm] \* [/mm] h - 1) = 0
also m [mm] \* [/mm] h = 1
das ist ein Widerspruch weil h nicht invertier ist.
mfg komduck
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