Äquivalenz bzw. Ordnungsrelati < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die gegebenen Realtionen ~ Äquivalenzrelationen bzw. Ordnungsrelationen sind. Bestimmen Sie gegebenfalls die Äquivalenzklassen. Unterscheiden Sie die Äquivalenzrelationen insbesondere auf Reflexivität. Symmetrie, Antisymmterie und Transitivität.
a) Für a,b [mm] \in \IN [/mm] gelte a~b [mm] \gdw [/mm] a > b.
b) Sie M eine Menge. Für A,B [mm] \in 2^{M} [/mm] gelte A ~ B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subset [/mm] B.
c)Seien U,V [mm] \subset \IR [/mm] Mengen und f: U [mm] \to [/mm] V eine Abbildung. Für x,y [mm] \in [/mm] U gelte x ~ y [mm] \gdw [/mm] f(x) = f(y). |
a) [mm] \forall_{a}\in \IN [/mm] : a > a. Eine Zahl ist nicht größer als sie selbst [mm] \rightarrow [/mm] weder Äquivalenz noch Ordnungsrelation.
b) Da jede P(M) die Menge M als Teilmenge enthält, so ist jede beliebige Menge A,B gleichzeitig Teilmenge von sich selbst.
Ein Beispiel.: Sei A={1,2} dann ist P(A)={ [mm] \emptyset [/mm] {1}, {2}, {1,2}}
Wie man sehen kann ist A Teilmenge von sich selbst und deshalb steht A in Relation mit sich selbst. Also reflexiv.
Symmetrie: Das aus [mm] A\subset [/mm] B nicht [mm] B\subset [/mm] A folgt solange A nicht gleich B ist, sollte klar sein;)
antisymmetrie: [mm] \forall_{A},_{B}\subset2^{M} [/mm] : A [mm] \subset [/mm] B [mm] \wedge [/mm] B [mm] \subset [/mm] A [mm] \rightarrow [/mm] A=B. Wie bei der reflexivität beschrieben, bildet jede Menge die teilmenge von sich selbst. Also ist wenn die [mm] \wedge [/mm] Bedingung erfüllt ist, die Folgerung wahr. Also antisymmetrisch.
transitivität: [mm] \forall_{A},_{B},_{C}2^{M} [/mm] : [mm] A\subset [/mm] B [mm] \wedge B\subset [/mm] C [mm] \rightarrow A\subset [/mm] C.
Auf meinem Blatt habe ich es mit einem Venn Diagramm gezeigt.
Darunter hab ich geschrieben. Wenn C Obermenge von B ist und B Obermenge von A ist dann ist A Teilmenge von C. Also haben wir hier eine Ordnungsrelation.
c) [mm] \forall_{x}\in [/mm] U: f(x)=f(x)
symmetrie: [mm] \forall_{x},_{y}\in [/mm] U: x~y [mm] \rightarrow [/mm] y~x
Wenn f(x)=f(y), dann auch f(y)=f(x)
Hier eine kleine Frage. Kann was symmetrisches auch antisymmetrisch sein? jedenfalls hab ich beides überprüft. Und wenn es möglich ist das beides gilt.. was für eine Art von Relation hab ich dann? eine Äquivalenzordnungsrelation?
antisymmetrie: [mm] \forall_{x},_{y}\in [/mm] U : x~y [mm] \wedge [/mm] y~x [mm] \rightarrow [/mm] x=y. Das ist nicht zwingend der Fall. Je nach Funktionsterm können zwei verschiedene Elemente, den gleichen Funktionswert erhalten. Somit muss obwohl x~y und y~x steht, x nicht gleich y sein.
transitivität: [mm] \forall_{x},_{y},_{z} \in [/mm] U: x~y [mm] \wedge [/mm] y~z [mm] \rightarrow [/mm] x~z. Wenn f(x)=f(y) und f(y)=f(z) dann aber auch f(x)=f(z). Wir haben es hier mit einer Äquivalenzrelation zu tun.
Äquivalenzklasse: [mm] [x]:={y\inU | f(y)=f(x)}
[/mm]
d.h. ein beliebiges [mm] x\inU [/mm] bildet eine Äquivalenzklasse mit all den [mm] y\inU, [/mm] mit dem es den gleichen Funktionswert bildet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Maurizz,
> a) [mm]\forall_{a}\in \IN[/mm] : a > a. Eine Zahl ist nicht
> größer als sie selbst [mm]\rightarrow[/mm] weder Äquivalenz noch
> Ordnungsrelation.
...da nicht reflexiv. Je nach Strenge des Korrigierenden solltest du ein Beispiel für eine natürliche Zahl angeben, die nicht größer als sie selbst ist.
(Denn aus "für alle" folgt nicht "es existiert", wie man zu meinen glaubt. "für alle" könnte sich nämlich a priori durchaus auf 0 Objekte beziehen.)
Ich verstehe die Aufgabenstellung so, dass alle Punkte (Reflexivität. Symmetrie, Antisymmterie und Transitivität) immer zu prüfen sind, auch wenn man durch Prüfen der Reflexivität schon ausgeschlossen hat, dass eine Ordnungs- oder Äquivalenzrelation vorliegt.
> b) Da jede P(M) die Menge M als Teilmenge enthält, so ist
> jede beliebige Menge A,B gleichzeitig Teilmenge von sich
> selbst.
Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst. Dass P(M) die Menge M enthält, spielt dabei keine Rolle.
> Also reflexiv.
Ja.
> Symmetrie: Das aus [mm]A\subset[/mm] B nicht [mm]B\subset[/mm] A folgt
> solange A nicht gleich B ist, sollte klar sein;)
Ja, sollte es. Aber gib ein Beispiel für zwei Teilmengen A,B von M an, für die [mm] $A\subseteq [/mm] B$, aber nicht [mm] $B\subseteq [/mm] A$ gilt. Dabei wirst feststellen: Für [mm] $M=\emptyset$ [/mm] gibt es solche Mengen nicht! Also ist die Relation für [mm] $M=\emptyset$ [/mm] durchaus symmetrisch.
> antisymmetrie: [mm]\forall_{A},_{B}\subset2^{M}[/mm] : A [mm]\subset[/mm] B
> [mm]\wedge[/mm] B [mm]\subset[/mm] A [mm]\rightarrow[/mm] A=B. Wie bei der
> reflexivität beschrieben, bildet jede Menge die teilmenge
> von sich selbst. Also ist wenn die [mm]\wedge[/mm] Bedingung
> erfüllt ist, die Folgerung wahr.
Die Folgerung ist wahr, deine Begründung Quatsch. Aber ich denke, es ist bekannt, dass zwei Mengen A und B genau dann übereinstimmen, wenn [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und [mm] $B\subseteq [/mm] A$ gilt.
> Also antisymmetrisch.
Ja.
> transitivität: [mm]\forall_{A},_{B},_{C}2^{M}[/mm] : [mm]A\subset[/mm] B
> [mm]\wedge B\subset[/mm] C [mm]\rightarrow A\subset[/mm] C.
> Auf meinem Blatt habe ich es mit einem Venn Diagramm
> gezeigt.
> Darunter hab ich geschrieben. Wenn C Obermenge von B ist
> und B Obermenge von A ist dann ist A Teilmenge von C. Also
> haben wir hier eine Ordnungsrelation.
Ja. Um einen stichhaltigen Beweis zu liefern:
Sei [mm] $a\in [/mm] A$. Wegen [mm] $A\subseteq [/mm] B$ folgt [mm] $a\in [/mm] B$. Wegen [mm] $B\subseteq [/mm] C$ folgt [mm] $a\in [/mm] C$.
Also [mm] $A\subseteq [/mm] C$.
> c) [mm]\forall_{x}\in[/mm] U: f(x)=f(x)
> symmetrie: [mm]\forall_{x},_{y}\in[/mm] U: x~y [mm]\rightarrow[/mm] y~x
> Wenn f(x)=f(y), dann auch f(y)=f(x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schön!
> Hier eine kleine Frage. Kann was symmetrisches auch
> antisymmetrisch sein?
Ja. Eine symmetrische Relation auf einer Menge M ist genau dann antisymmetrisch, wenn es keine zwei verschiedenen Elemente von M gibt, die in Relation zueinander stehen.
> jedenfalls hab ich beides
> überprüft. Und wenn es möglich ist das beides gilt.. was
> für eine Art von Relation hab ich dann? eine
> Äquivalenzordnungsrelation?
Wenn eine Relation auf einer Menge M gleichzeitig Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation ist, handelt es sich um die Relation [mm] $x\sim y:\gdw [/mm] x=y$. Für diese eine Gleichheitsrelation braucht es keinen eigenen pompösen Namen wie "Äquivalenzordnungsrelation"... 
> antisymmetrie: [mm]\forall_{x},_{y}\in[/mm] U : x~y [mm]\wedge[/mm] y~x
> [mm]\rightarrow[/mm] x=y. Das ist nicht zwingend der Fall. Je nach
> Funktionsterm können zwei verschiedene Elemente, den
> gleichen Funktionswert erhalten. Somit muss obwohl x~y und
> y~x steht, x nicht gleich y sein.
Du sagst es: Je nach Wahl der Abbildung f. Antisymmetrie liegt genau dann vor, wenn f injektiv ist.
> transitivität: [mm]\forall_{x},_{y},_{z} \in[/mm] U: x~y [mm]\wedge[/mm] y~z
> [mm]\rightarrow[/mm] x~z. Wenn f(x)=f(y) und f(y)=f(z) dann aber
> auch f(x)=f(z).
Gut!
Die Reflexivität hast du noch nicht geprüft. Aber das kriegst du sicherlich hin!
> Wir haben es hier mit einer
> Äquivalenzrelation zu tun.
> Äquivalenzklasse: [mm][x]:={y\inU | f(y)=f(x)}[/mm]
> d.h. ein
> beliebiges [mm]x\inU[/mm] bildet eine Äquivalenzklasse mit all den
> [mm]y\inU,[/mm] mit dem es den gleichen Funktionswert bildet.
Man könnte die Gesamtheit der Äquivalenzklassen noch näher beschreiben:
Für jedes [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $f^{-1}(\{v\})\not=\emptyset$ [/mm] ist [mm] $f^{-1}(\{v\})$ [/mm] eine Äquivalenzklasse. Jede Äquivalenzklasse entspricht so genau einem [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $f^{-1}(\{v\})\not=\emptyset$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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