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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Äquivalenz bzgl. Nullstellen
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Äquivalenz bzgl. Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Di 25.03.2014
Autor: Kartoffelchen

Aufgabe
Ich möchte folgende Äquivalenz zeigen:

1: $f [mm] \in \mathbb{R}[x]$ [/mm] hat eine mehrfache Nullstelle

2: $f$ und $f'$ haben eine gemeinsame Nullstelle

Von 1 auf 2

Es gibt also ein $r [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] und ein $s [mm] \in \mathbb{R}[x] \backslash [/mm] 0$ sodass $f = [mm] (x-r)^2 \cdot [/mm] s$. Dann ist aber $f' = 2(x-r) [mm] \cdot [/mm] s + [mm] (x-r)^2 \cdot [/mm] s'$ und folglich $f'(r) = 0$.

Ich weiß zwar nichts vom Grad der Funktion f, aber aufgrund der Vielfachheit der Nullstelle muss sie ja mindestens Grad 2 besitzen. Für alle Funktionen mit höherem Grad ergibt sich ja im Beweis das gleich Ergebnis, oder?


Von 2 auf 1:

Sei $r [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] die gemeinsame Nullstelle. Dann gibt es wieder ein $s [mm] \in \mathbb{R}[x] \backslash [/mm] 0$ sodass $f = [mm] (x-r)\cdot [/mm] s$ und folglich $f' = s + [mm] (x-r)\cdot [/mm] s'$.

Zeigen möchte ich nun selbstverständlich die Aussage 1. Wünschenswert wäre etwas in dieser Art:
Es gibt eine bestimmte Darstellung von $s$ sodass $s = 0$ mit der Nullstelle $r$, also etwa $ s = [mm] (x-r)\cdot s_2$ [/mm]

Aber ich sehe nicht, dass sich eine solche Darstellung 'einfach so' ergibt.


Für jegliche Hinweise, Korrekturen, Alternativvorschläge, Ergänzungen usw. usf. bin ich selbstredend sehr dankbar.

        
Bezug
Äquivalenz bzgl. Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Di 25.03.2014
Autor: Sax

Hi,

wenn du weißt, dass eine Nullstelle r von f die Darstellung  $ f(x)=(x-r)*s(x) $ gestattet, dann kannst du doch in $ f' = s + [mm] (x-r)\cdot [/mm] s' $ für x den Wert r einsetzten, erhälst s(r)=0 und damit dein gewünschtes Ergebnis.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Äquivalenz bzgl. Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Di 25.03.2014
Autor: Kartoffelchen

Hallo,

danke, das passt :)

Bezug
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