Äquivalenz bei Normen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:15 Mi 29.10.2008 | | Autor: | strange_w |
| Aufgabe | Für [mm] a,b\in\IR [/mm] , a<b sei der lineare Raum der stetigen Funktionen f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] mit C[a,b] bezeichnet.
Zeigen Sie:
Durch [mm] \parallel*\parallel_\infty [/mm] : C[0,1] [mm] \to\IR, \parallel f\parallel_\infty= \max_{0\le x\le1}|f(x)|
[/mm]
und
[mm] \parallel *\parallel_1: C[0,1]\to \IR. \parallel f\parallel_1= \integral_{0}^{1}{|f(x)|} [/mm] dx
gegebenen Normen auf C[0,1] sind äquivalent.
Hinweis: man betrachte die Funktionenfolge [mm] f_n: [0,1]\to\IR [/mm] , [mm] f_n(x)=x^n [/mm] |
Könnt ihr mir da irgendwie helfen??
Ich habe keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe ran gehen soll.... und muss sie bis morgen haben.
selbst die Darstellung der Normen, lässt mir kein konkretes Verständnis aufkommen.
Ich muss die Aufgabe ganz dringend verstehen, bitte also unbedingt um Hilfe!!!
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für [mm]a,b\in\IR[/mm] , a<b sei der lineare Raum der stetigen
> Funktionen f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] mit C[a,b] bezeichnet.
>
> Zeigen Sie:
> Durch [mm]\parallel*\parallel_\infty[/mm] : C[0,1] [mm]\to\IR, \parallel f\parallel_\infty= \max_{0\le x\le1}|f(x)|[/mm]
>
> und
>
> [mm]\parallel *\parallel_1: C[0,1]\to \IR. \parallel f\parallel_1= \integral_{0}^{1}{|f(x)|}[/mm]
> dx
>
> gegebenen Normen auf C[0,1] sind äquivalent.
>
> Hinweis: man betrachte die Funktionenfolge [mm]f_n: [0,1]\to\IR[/mm]
> , [mm]f_n(x)=x^n[/mm]
> Könnt ihr mir da irgendwie helfen??
> Ich habe keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe ran gehen
> soll.... und muss sie bis morgen haben.
>
> selbst die Darstellung der Normen, lässt mir kein konkretes
> Verständnis aufkommen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Lies Dir bitte einmal die Forenregeln durch und beachte, daß wir von Dir eigene Lösungsansätze erwarten.
Was verstehst Du denn bei der Darstellung der Normen nicht?
Kannst Du sagen , was für [mm] f:[0,1]\to \IR [/mm] mit [mm] f(x):=-(x-0.5)^2 [/mm] + 4
[mm] \parallel f\parallel_\infty [/mm] und [mm] \parallel f\parallel_1 [/mm] wären?
Was ist zu zeigen, wenn Du die Äquivalenz von Normen zeigen möchtest?
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:52 Mi 29.10.2008 | | Autor: | strange_w |
Ich könnte das Beispiel nicht lösen :((( Aber vielleicht kannst es mir ja an dem beispiel erklären?
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> Ich könnte das Beispiel nicht lösen :((( Aber vielleicht
> kannst es mir ja an dem beispiel erklären?
Hallo,
dazu müßte man mal genau wissen, warum nicht.
Was verstehst Du nicht bei der Definition der Normen?
Irgendwelche Zeichen, die Du nicht kennst, oder wo klmmt's?
Gruß v. Angela
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Mein problem ist, das mir bei vielen Dingen die Vorstellung fehlt. Z.B. bei einer funktion hat man eine Vorstellung, man stellt sie sich bildlich im Koordinatensystem vor, aber von einer norm habe ich gar keine Vorstellung. Daher ergibt sich sicher das Problem, dass ich nicht mit arbeiten kann. Ich lese Definitionen, aber verstehen tu ich es trotzdem nicht
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> Mein problem ist, das mir bei vielen Dingen die Vorstellung
> fehlt. Z.B. bei einer funktion hat man eine Vorstellung,
> man stellt sie sich bildlich im Koordinatensystem vor, aber
> von einer norm habe ich gar keine Vorstellung. Daher ergibt
> sich sicher das Problem, dass ich nicht mit arbeiten kann.
> Ich lese Definitionen, aber verstehen tu ich es trotzdem
> nicht
Hallo,
ich wollte das eigentlich konkreter wissen, bezogen auf die aktuelle Aufgabenstellung.
Unter "Definition lesen" kann man sehr verschiedenes verstehen, vom Anschauen der Buchstaben bis zum genauestem Studium dessen, was geschrieben ist.
Willst Du in der Mathematik einigermaßen mitkommen, geht das, was zu tun ist, eher in Richtung des zweiten. Durchlesen reicht bei den meisten nicht.
Vom "Durchlesen" verstehe ich selbst nix.
Du hast hier nun Normen gegeben, für die Du später etwas zeigen sollst.
Anscheinend verstehst Du diese Normen nicht.
Schauen wir uns mal die erste, die Norm [mm] \parallel\cdot{}\parallel_\infty [/mm] an:
$ [mm] \parallel\cdot{}\parallel_\infty [/mm] $ : C[0,1] $ [mm] \to\IR, [/mm]
[mm] \parallel f\parallel_\infty:= \max_{0\le x\le1}|f(x)| [/mm] $
Jetzt gehen wir das langsam durch.
$ [mm] \parallel\cdot{}\parallel_\infty [/mm] $ : C[0,1] $ [mm] \to\IR [/mm] :
Diese Norm ist also eine Abbildung.
C[0,1]:
Definitionsmenge sind die Stetigen Funktionen über dem Intervall [0,1].
[mm] \to\IR [/mm] :
zugeordnet wird eine reelle Zahl.
$ [mm] \parallel\cdot{}\parallel_\infty [/mm] $ : C[0,1] $ [mm] \to\IR [/mm] :
Diese Abbildung ordnet also jeder stetigen Funktion mit den Definitionsbereich [0,1] eine reelle Zahl zu.
An dieser Stelle drängt sich sofort die Frage auf: welche reelle Zahl?
[mm] \parallel f\parallel_\infty:= \max_{0\le x\le1}|f(x)| [/mm] $
Der zu einer Funktion f (natürlich aus C[0,1]) gehörige Funktionswert ist [mm] \max_{0\le x\le1}|f(x)| [/mm]
[mm] \red{\max}_{0\le x\le1}|f(x)| [/mm]
Also ein Maximum.
Maximum wovon?
[mm] \max_{0\le x\le1}\red{|f(x)| }
[/mm]
Achso: vom Betrag von f(x)
??? Welches f(x) denn eigentlich?
[mm] \max_{\red{0\le x\le1}}|f(x)| [/mm]
Aha! Ich soll alle Beträge der Funktionswerte |f(x)| anschauen, die ich erhalte, wenn ich irgendein x zwischen 0 und 1 einsetze.
Und von all den Werten die vorkommen können, soll ich den betragsgrößten nehmen.
Diese Zahl ist dann also die [mm] \infty-Norm [/mm] von f.
Problem: geht das überhaupt? Gibt's solch ein Maximum immer?
Antwort: f ist nach Voraussetzung stetig, also auch |f|, und stetige Funktionen über abgeschlossenen Intervallen nehmen ihr Maximum an.
Also ist die Definition wirklich sinnvoll.
Hab' ich das alles richtig verstanden?
Ich probier's mal an einem Beispiel aus:
ich nehme mir eine stetige Funktion, die auf [0,1] definiert ist, z.B.
$ [mm] f:[0,1]\to \IR [/mm] $ mit $ [mm] f(x):=-(x-0.5)^2 [/mm] $ + 4
Was ist jetzt deren [mm] \infty-Norm?
[/mm]
Einsetzten:
[mm] \parallel f\parallel_\infty:= \max_{0\le x\le1}|f(x)|=\max_{0\le x\le1}|-(x-0.5)^2 [/mm] $ + 4)| =...
Kannst Du das jetzt berechnen? Du mußt das Maximum von [mm] |-(x-0.5)^2 [/mm] $ + 4)| über dem Intervall [0,1] finden.
(da's mir ums Prinzip geht, gerne auch zeichnerisch.)
Wenn Du das hast, weißt Du, welchen Funktionswert die Abbildung $ [mm] \parallel\cdot{}\parallel_\infty [/mm] der konkreten Funktion f zuweist.
Nun etwas anderes. In der Aufgabe steht, daß [mm] \paralle\dot\parallel_\infty [/mm] eine Norm ist.
Was ist denn überhaupt eine Norm?
Es ist eine Abbildung mit bestimmten Eigenschaften, welche das sind, kannst Du allein nachschlagen, ebenso, wie Du darüber nachdenken solltest, daß [mm] \paralle\dot\parallel_\infty [/mm] wirklich eine Norm ist. (Für die Aufgabe brauchst Du das nicht. daß die beiden Abbildungen Normen sind, wurde mitgeteilt.)
Vielleicht findest Du jetzt mal durch ein ähnliches "lesen", wie ich es vorzumachen versucht habe, heraus, was es mit der 1-Norm auf sich hat.
Gruß v. Angela
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