äquivalenz / ähnlichkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Do 03.04.2008 | | Autor: | chris123 |
| Aufgabe | | zeigen sie, dass ähnlichkeit und äquivalenz äquivelenzrelationen auf [mm] K^{mxn} [/mm] sind. wieviele Äquvalenzklassen gibt es bezüglich Ähnlichkeit, wieviele bezüglich Äquivelnz in der menge aller 2x2-Matrizen mit Einträgen in [mm] \IZ_{2}, [/mm] dem Körper, der nur 2 Elemente enthält? |
also ich hab mir überlegt, dass es bei der Äquivalnz nur zwei Äquvalenzklassen geben kann, Matrizen mit einer 1 oder mit zwei 1.
Aber ich bin mir nicht sicher.
Könnte jemand mir erklären wie ich den Beweis machen soll.
Vielen Dank im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Do 03.04.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo chris123!
> zeigen sie, dass ähnlichkeit und äquivalenz
> äquivelenzrelationen auf [mm]K^{mxn}[/mm] sind. wieviele
> Äquvalenzklassen gibt es bezüglich Ähnlichkeit, wieviele
> bezüglich Äquivelnz in der menge aller 2x2-Matrizen mit
> Einträgen in [mm]\IZ_{2},[/mm] dem Körper, der nur 2 Elemente
> enthält?
> also ich hab mir überlegt, dass es bei der Äquivalnz nur
> zwei Äquvalenzklassen geben kann, Matrizen mit einer 1 oder
> mit zwei 1.
Und wie sieht es mit 4 Einsen aus? Und die Nullmatrix?
> Aber ich bin mir nicht sicher.
> Könnte jemand mir erklären wie ich den Beweis machen
> soll.
Na, ich würde sagen, Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen!?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> zeigen sie, dass ähnlichkeit und äquivalenz
> äquivelenzrelationen auf [mm]K^{mxn}[/mm] sind. wieviele
> Äquvalenzklassen gibt es bezüglich Ähnlichkeit, wieviele
> bezüglich Äquivelnz in der menge aller 2x2-Matrizen mit
> Einträgen in [mm]\IZ_{2},[/mm] dem Körper, der nur 2 Elemente
> enthält?
> also ich hab mir überlegt, dass es bei der Äquivalnz nur
> zwei Äquvalenzklassen geben kann, Matrizen mit einer 1 oder
> mit zwei 1.
>
> Aber ich bin mir nicht sicher.
> Könnte jemand mir erklären wie ich den Beweis machen
> soll.
Hallo,
wir könnten Dir besser helfen, würdest Du sagen, wie Du hierauf gekommen bist:
> also ich hab mir überlegt, dass es bei der Äquivalnz nur
> zwei Äquvalenzklassen geben kann, Matrizen mit einer 1 oder
> mit zwei 1.
Du hast eine Äquivalenzklasse vergessen: die Matrizen, die äquivalent zur Nullmatrix sind.
Du kannst zeigen, daß jede der betrachtenden Matizen äquivalent ist zu [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] oder [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Falls Ihr in der Vorlesung keinen passenden Satz hattet, überlege es Dir anhand der Ränge, die die 2x2-Matrizen haben können.
Die Äquivalenzklassen bzgl Ähnlichkeit kannst Du Dir mit den charakteristischen Polynomen und der JNF überlegen.
Gruß v. Angela
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