Äquivalenz Vektornormen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Di 10.05.2005 | | Autor: | MrPink |
Hallo, habe eine Frage zu Äquivalenz von Vektornormen:
Und zwar soll ich die optimalen Konstanten bestimmen, was ist damit gemeint, also was genau heist optimal. Als Beispliel eine Aufage, zu der
ich die optimalen Konstanten bestimmen soll:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo MrPink!
Handelt es sich um Normen im [mm] $\IR^n$?
[/mm]
Dann gilt ja offenbar:
[mm] $\sup\limits_{i\in \{1,\ldots,n\}} |x_i| \le \sum\limits_{i=1}^n|x_i| \le [/mm] n [mm] \cdot \sup\limits_{i \in \{1,\ldots,n\}} |x_i|$,
[/mm]
also:
[mm] $\frac{1}{n} \cdot\Vert [/mm] x [mm] \Vert_1 \le \Vert [/mm] x [mm] \Vert_{\infty} \le\Vert [/mm] x [mm] \Vert_1$.
[/mm]
Somit sind
[mm] $m_{1,\infty} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$
[/mm]
und
[mm] $M_{1,\infty}=1$
[/mm]
geeignete Konstanten. Diese Schranken (Konstanten) sind dann optimal, wenn für ein $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] bzw. ein $y [mm] \in \IR^n$ [/mm] Gleichheit in jeweils einer der beiden Abschäzungen gilt.
Dies ist für
[mm] $x=(1,1,\ldot,1)^T \in \IR^n$
[/mm]
bzw.
[mm] $y=(1,0,\ldots,0)^T \in \IR^n$
[/mm]
der Fall.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 12.05.2005 | | Autor: | MrPink |
Also soweit ist dann schon mal alles klar .
Vielen Dank !!!
ich finde nur die Definition dafür was dann ||x||2 heisst nicht, kannst du mir das noch eben sagen?
thx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 12.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es gilt:
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_2 [/mm] = [mm] \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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