Äquivalenz ...... < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 So 31.10.2004 | | Autor: | gat20bln |
Bin Neu-Student und falle irgendwie in ein großes Loch, da ich seit einem Jahr kein Mathe mehr hatte.
Es geht irgendwie alles sehr schnell.
Mir fehlt einfach die Idee, wie ich die Aufgabe lösen kann, wenn man hier so freundlich und anhand eines Beispiels mir -und sicher- anderen hier einen Ideenanstoß geben könnte, wäre ich zum Dank verpflichted.
Also, die Aufgabe lautet:
Seien M und N beliebige Mengen. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) M [mm] \subset [/mm] N
b) ...
c)....
die anderen würde ich versuchen selbst zu lösen.
Wie gesagt, wäre sehr dankbar.
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 So 31.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo erstmal!
> Bin Neu-Student und falle irgendwie in ein großes Loch, da
> ich seit einem Jahr kein Mathe mehr hatte.
> Es geht irgendwie alles sehr schnell.
>
> Mir fehlt einfach die Idee, wie ich die Aufgabe lösen kann,
> wenn man hier so freundlich und anhand eines Beispiels mir
> -und sicher- anderen hier einen Ideenanstoß geben könnte,
> wäre ich zum Dank verpflichted.
>
> Also, die Aufgabe lautet:
> Seien M und N beliebige Mengen. Zeigen Sie die Äquivalenz
> folgender Aussagen:
> a) M [mm]\subset[/mm] N
> b) ...
> c)....
>
> die anderen würde ich versuchen selbst zu lösen.
>
Hmm... das prinzip bei solchen Aufgaben ist es, zu zeigen, dass die Aussage a) genau dann richtig ist, wenn die Aussage b) richtig ist. Und das b) genau dann richtig ist, wenn c) richtig ist. Und a) genau dann richtig ist, wenn c) richtig ist.
Das ist die "Übersetzung" der Aufgabenstellung. In einem solchen Fall muss man meist gar nicht alles zeigen, sondern bedient sich oft eines "Ringschlusses". Das heißt, wenn ich $a [mm] \Rightarrow [/mm] b $ und $b [mm] \Rightarrow [/mm] c$ und $ [mm] c\Rightarrow [/mm] a$ gezeigt habe, gilt die Äquivalenz $ a [mm] \gdw [/mm] b [mm] \gdw [/mm] c $.
Du kannst natürlich den Ringschluss auch in umgekehrter Reihenfolge bilden.
Wie zeige ich nun $a [mm] \Rightarrow [/mm] b$ ?
Nun du kannst alles was in a steht voraussetzen und benutzen. in diesem Fall ist das nicht viel, sondern nur die Aussage [mm] M \subset N [/mm] . Dann schreibst du also: Sei $M [mm] \subset [/mm] N$. Dann musst du mit Äquivalenzumformungen und Folgerungen auf die Struktur von b kommen.
Vielleicht ergänzt du die Aussagen b) und c) hier noch, dann können wir dir noch mehr helfen.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mo 01.11.2004 | | Autor: | gat20bln |
Vielen Dank bis hierhin,
Seien M, N beliebige Mengen. Äquivalenz folgender Aussagen:
a) M [mm] \subset [/mm] N
b) M [mm] \cap [/mm] N = M
c) M [mm] \cup [/mm] N = N
d) M [mm] \backslash [/mm] N = [mm] \emptyset
[/mm]
Muss ich das dann mit dem Ringschlussverfahren so gestalten:
x [mm] \in [/mm] (M [mm] \subset [/mm] N) [mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \cap [/mm] N = M .....
und das ist so die Lösung? Kannst du das knapp veranschaulichen.
Kommt mir ja schon wie Belästigung vor :)
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Ahmet!
Es handet sich hier offenbar um eine Ansammlung von Trivialitäten. Dennoch beobachte ich immer wieder, dass Erstsemester enorme Probleme haben, formal einwandfreie Beweise zu führen. Daher ist das Einüben von Beweisausführungen im Rahmen dieser Trivialitäten der Naiven Mengenlehre ernorm wichtig. Man sollte dies nur normalerweise bereits vor dem Studium beherrschen (aber das ist ein Systemfehler).
Ich führe den Beweis jetzt einmal komplett vor:
$a) [mm] \Rightarrow [/mm] b)$:
Die Beziehung $M [mm] \cap [/mm] N [mm] \subset [/mm] M$ ist trivial. Zu zeigen bleibt also: $M [mm] \subset [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$. Dazu sein $x [mm] \in [/mm] M$ beliebig gewählt. Da nach der gemäß a) gültigen Beziehung $M [mm] \subset [/mm] N$ aber $x [mm] \in [/mm] N$ folgt, haben wir: $x [mm] \in [/mm] M$ und $x [mm] \in [/mm] N$, also: $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$.
$b) [mm] \Rightarrow [/mm] c)$:
Die Beziehung $N [mm] \subset [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$ ist trivial. Zu zeigen bleibt also $M [mm] \cup [/mm] N [mm] \subset [/mm] N$. Dazu sein $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$ beliebig gewählt. Aus $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$ folgt: $x [mm] \in [/mm] M$ oder $x [mm] \in [/mm] N$. Im Falle $x [mm] \in [/mm] M$ folgt wegen $x [mm] \in [/mm] M [mm] \stackrel{b)}{=} [/mm] M [mm] \cap [/mm] N [mm] \subset [/mm] N$ aber auch: $x [mm] \in [/mm] N$, womit die Beziehung $M [mm] \cup [/mm] N [mm] \subset [/mm] N$ ebenfalls bewiesen ist.
$c) [mm] \Rightarrow [/mm] d)$:
Wäre $M [mm] \setminus [/mm] N [mm] \ne \emptyset$, [/mm] so gäbe es ein $x [mm] \in [/mm] M$ mit $x [mm] \notin [/mm] N$. Es gilt aber:
$x [mm] \in [/mm] M [mm] \subset [/mm] M [mm] \cup [/mm] N [mm] \stackrel{c)}{=} [/mm] N$,
also: $x [mm] \in [/mm] N$, was einen Widerspruch darstellt. Daher muss $M [mm] \setminus [/mm] N = [mm] \emptyset$ [/mm] gelten.
$d) [mm] \Rightarrow [/mm] a)$:
Es sei $x [mm] \in [/mm] M$ beliebig gewählt. Wäre $x [mm] \notin [/mm] N$, so wäre $x [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus [/mm] N$, im Widerspruch zu $M [mm] \setminus [/mm] N = [mm] \emptyset$. [/mm] Daher folgt aus $x [mm] \in [/mm] M$ zwangsläufig $x [mm] \in [/mm] N$, womit $M [mm] \subset [/mm] N$ gezeigt ist.
So, das musst du jetzt verinnerlichen. Setze dich jetzt am besten mindestens zwei Stunden hin und versuche wirklich zu begreifen, was ich hier gemacht habe und versuche auch diese Beweisprinzipien auf andere ähnliche Aufgaben anzuwenden. Bei Unklarheiten darfst du natürlich gerne nachfragen. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Di 02.11.2004 | | Autor: | gat20bln |
Kann man aus den Gleichheitszeichen "=" einfach ein [mm] "\subset" [/mm] machen?
Den Begriff der Trivialität leider noch nicht in der Mathematik gehört :(
So langsam zweifele ich an meiner bisherigen Mathe-Ausbildung.
Dennoch mit großen Dank und freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Di 02.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Man kann die Beziehung $M=N$ zweier Mengen so zeigen, dass man getrennt $M [mm] \subset [/mm] N$ und $N [mm] \subset [/mm] M$ zeigt. Das habe ich getan, mehr nicht.
Nur war es so, dass jeweils eine der beiden Inkusionen offensichtlich ("trivial") war, denn die Beziehung $N [mm] \subset [/mm] N [mm] \cup [/mm] M$ etwa folgt ja sofort aus der Definition.
Liebe Grüße
Stefan
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