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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
| Aufgabe 1 | Es bezeichne g [mm] \in \IR [/mm] den goldenen Schnitt.
Zeigen Sie, dass für z [mm] \in \IC [/mm] gilt:
[mm] (z^2 [/mm] + gz + 1) [mm] (z^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{g} [/mm] + 1) = [mm] z^4 +z^3 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] + z + 1 |
| Aufgabe 2 | | Sie [mm] C_2 [/mm] := i und für n [mm] \in \IN_{\ge2} [/mm] seien komplexe Zahlen [mm] C_{n+1} [/mm] rekursiv definiert durch [mm] C_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{1 + C_n}{|1 + C_n|} [/mm] . Zeigen Sie, dass die so konstruierten Zahlen [mm] C_n [/mm] primitive [mm] 2^n-te [/mm] Einheitswurzeln sind. |
Zu Aufgabe 1:
Ich hab jetzt einfach mal alles ausmultipliziert ( insofern das mit den komplexen Zahlen überhaupt geht, da bin ich mir auch nicht ganz sicher). Auf jeden Fall bin ich nun so weit gekommen:
[mm] (z^2 [/mm] + gz +1) [mm] (z^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{g}z [/mm] + 1)
= [mm] z^4 [/mm] - [mm] \bruch{z^3}{g} [/mm] + [mm] z^2 [/mm] + [mm] gz^3 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] + gz + [mm] z^2 [/mm] - [mm] \bruch{z}{g} [/mm] + 1
= [mm] z^4 [/mm] - [mm] \bruch{z^3}{g} [/mm] + [mm] gz^3 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] + gz - [mm] \bruch{z}{g} [/mm] + 1
= [mm] z^4 [/mm] - [mm] \bruch{z^3 + g^2z^3}{g} [/mm] + [mm] z^2 +\bruch{g^2z-z}{g} [/mm] +1
= [mm] z^4 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] + 1 - [mm] \bruch{z^3+g^2z^3 + g^2z - z}{g}
[/mm]
= [mm] z^4 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] + 1 - [mm] \bruch{z^3(1+g^2) - z(g^2-1)}{g} [/mm]
Naja ob der letzte Schritt mir jetzt wirklich was gebracht hab weiß ich nicht :D
Auf jeden Fall, ob richtig oder falsch, komm ich an der Stelle hier nicht weiter und wäre sehr dankbar über eine Rückmeldung :)
Zu Aufgabe 2:
Hier bräuchte ich wirklich einen Denkanstoß, wie ich die Aufgabe angehen soll, da ich leider gerade planlos davor sitze :$
Gruß, Andy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es bezeichne g [mm]\in \IR[/mm] den goldenen Schnitt.
>
> Zeigen Sie, dass für z [mm]\in \IC[/mm] gilt:
>
> [mm](z^2[/mm] + gz + 1) [mm](z^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{g}[/mm] + 1) = [mm]z^4 +z^3[/mm] + [mm]z^2[/mm] +
> z + 1
> Sie [mm]C_2[/mm] := i und für n [mm]\in \IN_{\ge2}[/mm] seien komplexe
> Zahlen [mm]C_{n+1}[/mm] rekursiv definiert durch [mm]C_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{1 + C_n}{|1 + C_n|}[/mm]
> . Zeigen Sie, dass die so konstruierten Zahlen [mm]C_n[/mm]
> primitive [mm]2^n-te[/mm] Einheitswurzeln sind.
> Zu Aufgabe 1:
> Ich hab jetzt einfach mal alles ausmultipliziert (
> insofern das mit den komplexen Zahlen überhaupt geht, da
> bin ich mir auch nicht ganz sicher). Auf jeden Fall bin ich
> nun so weit gekommen:
>
> [mm](z^2[/mm] + gz +1) [mm](z^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{g}z[/mm] + 1)
da hast Du Dich vertippt:
[mm] $$(z^2+gz+1)*\left(z^2\red{\;-\;}\frac{1}{g}z+1\right)=$$
[/mm]
> = [mm]z^4[/mm] - [mm]\bruch{z^3}{g}[/mm] + [mm]z^2[/mm] + [mm]gz^3[/mm] - [mm]z^2[/mm] + gz + [mm]z^2[/mm] - [mm]\bruch{z}{g}[/mm] + 1
> = [mm]z^4[/mm] - [mm]\bruch{z^3}{g}[/mm] + [mm]gz^3[/mm] + [mm]z^2[/mm] + gz - [mm]\bruch{z}{g}[/mm] + 1
> ...
>
> Naja ob der letzte Schritt mir jetzt wirklich was gebracht
> hab weiß ich nicht :D
Nö, denn er ist falsch! (Rechne es nochmal nach!) Du hast da aber eh
einige Patzer drin. Hören wir mal auf bei:
[mm]z^4[/mm] - [mm]\bruch{z^3}{g}[/mm] + [mm]gz^3[/mm] + [mm]z^2[/mm] + gz - [mm]\bruch{z}{g}[/mm] + 1
> Auf jeden Fall, ob richtig oder falsch, komm ich an der
> Stelle hier nicht weiter und wäre sehr dankbar über eine
> Rückmeldung :)
Na, eigentlich ist doch klar, was nun zu zeigen bleibt:
Zu zeigen ist nun, dass
[mm] $$-z^3/g+gz^3+gz-z/g=z^3+z$$
[/mm]
gilt.
Dürft Ihr [mm] $g=(1+\sqrt{5})/2$ [/mm] schon verwenden - oder wie habt ihr den
goldenen Schnitt definiert?
Wenn Ihr das dürft kannst Du das einfach nachrechnen - bzw. es reicht
tatsächlich, hier einfach mal $g-1/g$ zu berechnen:
[mm] $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{(1+\sqrt{5})^2-4}{2*(1+\sqrt{5})}=\frac{1+2\sqrt{5}+5-4}{2+2\sqrt{5}}=1$$
[/mm]
Damit wäre man dann auch schon fertig. (Siehst Du das?)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 So 18.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Ja danke ich sehe und verstehe den Schritt nun auch :)
Aber als du die zwei Brüche auf einen bruch gebracht hast ist die -4 im Nenner falsch oder? In den weiteren Schritten kommt sie dann ja auch nicht mehr vor :)
Gruß, Andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja danke ich sehe und verstehe den Schritt nun auch :)
>
> Aber als du die zwei Brüche auf einen bruch gebracht hast
> ist die -4 im Nenner falsch oder? In den weiteren Schritten
> kommt sie dann ja auch nicht mehr vor :)
ja, ich hatte sie erst im Zähler vergessen und dann aus versehen im Nenner
mitergänzt - ich habe das mal korrigiert. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 So 18.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu 2) Zeige: [mm] C_n^{2^n}=1 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 So 18.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Zeigt man dies hier dann mittels vollständiger Induktion oder gibt es einen leichteren Weg? :)
Gruß, Andy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Andy,
> Zeigt man dies hier dann mittels vollständiger Induktion
> oder gibt es einen leichteren Weg? :)
>
Wohl kaum, da die Folge ja rekursiv definiert ist.
Die k-te primitive Einheitswurzel ist [mm] $e^{2\pi i/k}\,.$ [/mm] Du mußt also im Induktionsschritt
[mm] $\frac {1+e^{2\pi i/2^n}} {|1+e^{2\pi i/2^n}|}= e^{2\pi i/2^{n+1}}$
[/mm]
für [mm] $n\ge [/mm] 2$ zeigen.
Gruß,
Wolfgang
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