Äquivalenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Di 19.01.2010 | | Autor: | da_kiwi |
| Aufgabe | Sei n ≥1 eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) ggT (n,u) =1 für alle ungeraden natürlichen Zahlen u ≥1.
(ii) Es existiert eine natürliche Zahl k ≥ 0, so dass n = 2k gilt. |
Hey,
also hier meine erste Lösung:
(i)->(ii)
[mm] n=p_{1}*p_{2}*p_{3}*...*p_{k}
[/mm]
Aus ggT(n,u)=1 und u=ungerade folgt: p=gerade.
Da p eine Primzahl ist folgt: p=2.
[mm] n=2_{1}*2_{2}*2_{3}*...*2_{k}
[/mm]
[mm] n=2^k
[/mm]
Kann man das mit so vereinfachter Form der Primfaktorzerlegung machen, oder ist das nicht legitim?
Grüße
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Hallo,
ja das ist in der Form möglich. Zwar ist noch nicht geklärt ob solch eine Zahl existiert, aber das war ja nicht Teil der Aufgabenstellung.
Nur: es muss u>1 heißen, da sonst der Fall u=1 mit eingeschlossen wäre.
lg
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:58 Di 19.01.2010 | | Autor: | da_kiwi |
Für u=1 ist der ggT(n,u)=1. Also kannes doch u ≥1 heißen, oder?
Irgendwie hab ich von (ii)->(i) keine Idee. Kann mir vielleicht jemand einen Denkanstoß geben?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 21.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Di 19.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei n ≥1 eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die
> Äquivalenz folgender Aussagen:
> (i) ggT (n,u) =1 für alle ungeraden natürlichen Zahlen u
> ≥1.
Mit anderen Worten: n ist teilerfremd zu allen ungeraden natürlichen Zahlen.
> (ii) Es existiert eine natürliche Zahl k ≥ 0, so dass n
> = 2k gilt.
Gegenannahme zu (ii): n sei ungerade. Dann ist n teilerfremd zu sich selbst, also ggT(n,n)=1. Die einzige Zahl, für die ggT(n,n)=1 gilt ist n=1.
Die Sache funktioniert nur, wenn du n=1 ausschließt.
Gruß Abakus
> Hey,
> also hier meine erste Lösung:
> (i)->(ii)
>
> [mm]n=p_{1}*p_{2}*p_{3}*...*p_{k}[/mm]
>
> Aus ggT(n,u)=1 und u=ungerade folgt: p=gerade.
> Da p eine Primzahl ist folgt: p=2.
>
> [mm]n=2_{1}*2_{2}*2_{3}*...*2_{k}[/mm]
>
> [mm]n=2^k[/mm]
>
> Kann man das mit so vereinfachter Form der
> Primfaktorzerlegung machen, oder ist das nicht legitim?
>
> Grüße
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Di 19.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei n ≥1 eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die
> Äquivalenz folgender Aussagen:
> (i) ggT (n,u) =1 für alle ungeraden natürlichen Zahlen u
> ≥1.
> (ii) Es existiert eine natürliche Zahl k ≥ 0, so dass n
> = 2k gilt.
Da hast du dich aber kraeftig vertippt, es muss $n = [mm] 2^k$ [/mm] heissen in (ii). Andernfalls ist die Aussage schlichtweg falsch, wie z.B. $n = 6$ zeigt (da $ggT(6, 3) = 3$).
Die Faelle $u = 1$ oder $n = 1$ braucht man uebrigens nicht auszuschliessen.
Fuer die Richtung (i) => (ii) nimm an, dass $n$ nicht von der Form [mm] $2^k$ [/mm] ist; dann gibt es eine ungerade Primzahl $p$, die $n$ teilt; daraus folgt aber $ggT(n, p) > 1$.
Fuer die Richtung (ii) => (i) zeige, dass es keine Primzahl gibt, die sowohl $u$ wie auch [mm] $2^k$ [/mm] teilt.
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:16 Di 19.01.2010 | | Autor: | da_kiwi |
Oh ja, das stimmt ;).
In meiner Lösung bin ich aber auch zu dem Ergebnis [mm] n=2^k [/mm] gekommen.
Geht meine Lösung für (i)->(ii) nicht?
Danke für den Tipp für (ii)->(i). Damit sollte das zu schaffen sein ;).
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 21.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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