Äquivalente Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
Hallo.
Ich habe in einem alten Skipt zur Linearen Algebra einen Beweis für äquivalente Matrizen gefunden. Leider verstehe ich ihn nicht ganz.
Der Beweis lautet wie folgt:
Seien A und B äquivalent, daraus folgt: Es existieren reguläre Q und P mit B=QAP. Somit folgt, dass rg(B)=rg(QAP)=rg[(QA)P]=rg(QA)=rg(A) ist.
Dass der Rang von B gleich dem Rang von QAP ist, ist klar, da B=QAP gilt. Aber dann komme ich nicht weiter.
Danke im Voraus.
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> Hallo.
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> Ich habe in einem alten Skipt zur Linearen Algebra einen
> Beweis für äquivalente Matrizen gefunden. Leider verstehe
> ich ihn nicht ganz.
> Der Beweis lautet wie folgt:
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> Seien A und B äquivalent, daraus folgt: Es existieren
> reguläre Q und P mit B=QAP. Somit folgt, dass
> rg(B)=rg(QAP)=rg[(QA)P]=rg(QA)=rg(A) ist.
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> Dass der Rang von B gleich dem Rang von QAP ist, ist klar,
> da B=QAP gilt. Aber dann komme ich nicht weiter.
>
Hallo,
Q und P sind doch invertierbar.
Wenn ich eine Matrix mit einer invertierbaren multipliziere, ändert sich der Rang nicht.
Du kannst Dir das anhand der zugehörigen Abbildungen überlegen. Die invertierbaren Matrizen reräsentieren ja bijektive lin. Abbildungen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
Danke für deine Hilfe.
Ich habe immer versucht aus rg(B) durch Umformungen oder Einsetztungen auf rg(A) zu kommen. Das brauchte ich aber gar nicht.
Denn wie ich ja jetzt weis ändert sich der Rang einer Matrix nicht wenn ich sie mit einer regulären Matrix multipliziere.
Da ja rg(B)=rg(QAP) und die Multpilkation von Q und P an A nicht den Rang von A ändern, bleibt der Rang von A bestehen und es folgt rg(B)=rg(A).
Korrekt?
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Hallo,
> Danke für deine Hilfe.
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> Ich habe immer versucht aus rg(B) durch Umformungen oder
> Einsetztungen auf rg(A) zu kommen. Das brauchte ich aber
> gar nicht.
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> Denn wie ich ja jetzt weis ändert sich der Rang einer
> Matrix nicht wenn ich sie mit einer regulären Matrix
> multipliziere.
> Da ja rg(B)=rg(QAP) und die Multpilkation von Q und P an A
> nicht den Rang von A ändern, bleibt der Rang von A
> bestehen und es folgt rg(B)=rg(A). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, etwas genauer wie im Beweis: $rg(B)=rg(QAP)=rg((QA)P)=rg(QA)$
denn da du die invertierbare Matrix P an (QA) ranmultiplizierst, ändert sich der Rang nicht
$=rg(A)$ selbes Argument
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> Korrekt?
Gruß
schachuzipus
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