Ähnlichkeit, Äquivalenz < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 07.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Zu zeigen:
(M und M' sind ähnlich) [mm] \gdw (\forall \lambda \in [/mm] K : M - [mm] \lambda E_{n} [/mm] und M' - [mm] \lambda E_{n} [/mm] sind äquivalent) |
Hallo zusammen
ich habe die eine richtung geschaft zum zeigen, und jetzt fehlt mir die idee für die gegen richtung :-(
also mein ansatz:
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Sei S [mm] \in GL_{n} [/mm] (K) mit M' = [mm] SMS^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] M' - [mm] \lambda E_{n} [/mm] = [mm] SMS^{-1} [/mm] - [mm] \lambda E_{n} [/mm] = [mm] S\lambda E_{n}S^{-1} [/mm] - [mm] SMS^{-1} [/mm] = [mm] S(M-\lambda E_{n})S^-^1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung d.h. M' - [mm] \lambda E_{n} [/mm] äquivalent zu M - [mm] \lambda E_{n}
[/mm]
Und nun die gegenrichtung hat jemand eine idee?
ps. habe die frage auf kein aderes forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 So 07.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> (M und M' sind ähnlich) [mm]\gdw (\forall \lambda \in[/mm] K : M -
> [mm]\lambda E_{n}[/mm] und M' - [mm]\lambda E_{n}[/mm] sind äquivalent)
Was genau ist der Unterschied zwischen aehnlich und aequivalent? Oder gibt es keinen?
> ich habe die eine richtung geschaft zum zeigen, und jetzt
> fehlt mir die idee für die gegen richtung :-(
> also mein ansatz:
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> Sei S [mm]\in GL_{n}[/mm] (K) mit M' = [mm]SMS^{-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] M' - [mm]\lambda E_{n}[/mm] = [mm]SMS^{-1}[/mm] - [mm]\lambda E_{n}[/mm] =
> [mm]S\lambda E_{n}S^{-1}[/mm] - [mm]SMS^{-1}[/mm] = [mm]S(M-\lambda E_{n})S^-^1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung d.h. M' - [mm]\lambda E_{n}[/mm] äquivalent
> zu M - [mm]\lambda E_{n}[/mm]
Wenn aehnlich und aequivalent bedeuten, dass es eine invertierbare Matrix $S$ gibt mit $M' = S M [mm] S^{-1}$, [/mm] dann stimmt das so.
> Und nun die gegenrichtung hat jemand eine idee?
Die geht genauso :) Wende die Hinrichtung doch mal mit [mm] $-\lambda$ [/mm] anstelle [mm] $\lambda$ [/mm] auf $M - [mm] \lambda E_n$ [/mm] anstelle $M$ an.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 07.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> Hallo
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> > (M und M' sind ähnlich) [mm]\gdw (\forall \lambda \in[/mm] K : M -
> > [mm]\lambda E_{n}[/mm] und M' - [mm]\lambda E_{n}[/mm] sind äquivalent)
>
> Was genau ist der Unterschied zwischen aehnlich und
> aequivalent? Oder gibt es keinen?
doch es gibt einen unterschied:
zwei matrizen A,B sind äquivalent wenn B = [mm] SAT^{-1} [/mm] existiert mit S und [mm] T^{-1} \in [/mm] GL(n;K)
zwei matrizen A,B sind ähnlich wenn B = [mm] SAS^{-1} [/mm] existiert mit S [mm] \in [/mm] GL(n;K)
>
> > ich habe die eine richtung geschaft zum zeigen, und jetzt
> > fehlt mir die idee für die gegen richtung :-(
> > also mein ansatz:
> >
> > [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> > Sei S [mm]\in GL_{n}[/mm] (K) mit M' = [mm]SMS^{-1}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] M' - [mm]\lambda E_{n}[/mm] = [mm]SMS^{-1}[/mm] - [mm]\lambda E_{n}[/mm] =
> > [mm]S\lambda E_{n}S^{-1}[/mm] - [mm]SMS^{-1}[/mm] = [mm]S(M-\lambda E_{n})S^-^1[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung d.h. M' - [mm]\lambda E_{n}[/mm] äquivalent
> > zu M - [mm]\lambda E_{n}[/mm]
>
> Wenn aehnlich und aequivalent bedeuten, dass es eine
> invertierbare Matrix [mm]S[/mm] gibt mit [mm]M' = S M S^{-1}[/mm], dann
> stimmt das so.
>
> > Und nun die gegenrichtung hat jemand eine idee?
>
> Die geht genauso :) Wende die Hinrichtung doch mal mit
> [mm]-\lambda[/mm] anstelle [mm]\lambda[/mm] auf [mm]M - \lambda E_n[/mm] anstelle [mm]M[/mm]
> an.
verstehe nicht ganz wie du das jetzt meinst :-(
>
> LG Felix
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 07.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > (M und M' sind ähnlich) [mm]\gdw (\forall \lambda \in[/mm] K : M -
> > > [mm]\lambda E_{n}[/mm] und M' - [mm]\lambda E_{n}[/mm] sind äquivalent)
> >
> > Was genau ist der Unterschied zwischen aehnlich und
> > aequivalent? Oder gibt es keinen?
>
> doch es gibt einen unterschied:
>
> zwei matrizen A,B sind äquivalent wenn B = [mm]SAT^{-1}[/mm]
> existiert mit S und [mm]T^{-1} \in[/mm] GL(n;K)
>
> zwei matrizen A,B sind ähnlich wenn B = [mm]SAS^{-1}[/mm] existiert
> mit S [mm]\in[/mm] GL(n;K)
Ah, ok.
Dann ist die Aufgabe allerdings falsch: wenn $M - [mm] \lambda E_n$ [/mm] und $M' - [mm] \lambda E_n$ [/mm] aequivalent sind, haben sie den gleichen Rang, womit die Eigenraeume von $M$ und $M'$ zu [mm] $\lambda$ [/mm] die gleiche Dimension haben. (Wenn dir das nichts sagt ignorier es erstmal.) Wenn die Matrizen nun nicht diagonalisierbar sind, kann es vorkommen dass die algebraischen Vielfachheiten trotzdem verschieden sind, womit sie nicht aehnlich sein koennen.
Beispiel:
$M = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$ [/mm] und $M' = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }$.
[/mm]
Diese Matrizen sind nicht aehnlich, aber $M - [mm] \lambda E_n$ [/mm] und $M' - [mm] \lambda E_n$ [/mm] sind fuer alle [mm] $\lambda$ [/mm] aequivalent: fuer [mm] $\lambda \not\in \{ 0, 1 \}$ [/mm] ist dies klar, da sie beide invertierbar sind. Fuer [mm] $\lambda \in \{ 1, 2 \}$ [/mm] haben sie beide jeweils Rang 2, womit sie ebenfalls aehnlich sind (mit dem Gaussschen Algorithmus lassen sie sich in die Form [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$ [/mm] bringen durch aequivalente Umformungen).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
mhm irgendwie bin ich nicht ganz einverstanden 
kennst Du das Lemma von frobenius? habe das gestern noch gefunden.
gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:22 Di 09.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> mhm irgendwie bin ich nicht ganz einverstanden
Inwiefern?
> kennst Du das Lemma von frobenius? habe das gestern noch
> gefunden.
Ja, was ist damit?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Di 09.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > mhm irgendwie bin ich nicht ganz einverstanden
>
> Inwiefern?
>
> > kennst Du das Lemma von frobenius? habe das gestern noch
> > gefunden.
>
> Ja, was ist damit?
Mal ganz davon abgesehen, die Aufgabe heisst ``zeige oder widerlege''.
LG Felix
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