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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Di 16.09.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
eine Matrix C [mm] \in K^{(n,n)} [/mm] ist genau dann diagonalisierbar, wenn
(1) das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, etwa
[mm] p(\lambda) [/mm] = [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda)^r_1 [/mm] ... [mm] (\lambda_k [/mm] - [mm] \lambda)^r_k [/mm] , [mm] r_1 [/mm] + ... + [mm] r_k [/mm] = n
wo die Nullstellen [mm] \lambda_1 [/mm] , ... , [mm] \lambda_k [/mm] alle paarweise verschieden sien sollen, aber mit ihren algebraischen Vielfachheiten [mm] r_1,...,r_k [/mm] zu Potenzen zusammengefasst, und
(2) für die verschiedenen Nullstellen [mm] \lambda_1 [/mm] , ... , [mm] \lambda_k [/mm] gilt [mm] Rang(C-\lambda_j 1I_n) [/mm] = [mm] n-r_j [/mm] (j=1,...,k)
es geht nur um --> diese Richtung, die andere ist mir klar und ich habe auch den Beweis für diese besagte Richtung verstehe in nur an einer Stelle nicht also:
--> Sei C diagonalisierbar, also etwa ähnlich zur Matrix C' die nur auf der Diagonale einträge hat und zwar auf den ersten [mm] r_1 [/mm] Zeilen an der Diagonale [mm] \lambda_1 [/mm] auf den nächsten [mm] r_2 [/mm] Zeilen [mm] \lambda_2 [/mm] und so weiter wobei die [mm] \lambda [/mm] 's die Eigenwerte sind. Dann zerfällt das charakteristische Polynom in [mm] p(\lambda) [/mm] = [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda)^r_1 [/mm] ... [mm] (\lambda_k [/mm] - [mm] \lambda)^r_k [/mm] da dass charakteristische Polynom von C und C' gelich ist.
Für j=1,...,k ist
C' - [mm] \lambda_j 1I_n [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] C A - [mm] \lambda_j 1I_n [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] (C - [mm] \lambda_j 1I_n) [/mm] A
und deswegen Rang (C' - [mm] \lambda_j 1I_n) [/mm] = Rang ( C - [mm] \lambda_j 1I_n) [/mm]
Schließlich fallen in C' - [mm] \lambda_j 1I_n [/mm] genau die [mm] r_j [/mm] Diagonaleinträge weg, die gleich [mm] \lambda_j [/mm] sind, während an den anderen Stellen der Diagonale Zahlen [mm] \lambda_i [/mm] - [mm] \lambda_j [/mm] stehen. Diese sind ungleich Null, also ist der Rang(C' - [mm] \lambda_j 1I_n) [/mm] = n - [mm] r_j
[/mm]
es ist mir alles klar bis auf die rote Stelle, warum sind die beiden Ränge gleich? Vielleicht weil sich der Rang einer Matrix bei elementaren Zeilenumformungen nicht ändert und die Multiplikationen mit [mm] A^{-1} [/mm] und A einfach mehrere elemtare Zeilenumformungen sind?????
dies würde ja ber bedeuten dass der Rang einer Matrix sich nie ändert wenn ich diese mit einer anderen Matrix multipliziere was ja aber nicht sein kann, denn hat eine Matrix B den Rang y und die Matrix H den Rang x dann kann das Produkt ja wenn überhaupt nur einen der beiden Ränge haben. Also muss es damit zu tun haben dass erst mit [mm] A^{-1} [/mm] von links und dann mit A von rechts multipliziert wird.
vielen dank für eure Hilfe
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Di 16.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> eine Matrix C [mm]\in K^{(n,n)}[/mm] ist genau dann
> diagonalisierbar, wenn
>
> (1) das charakteristische Polynom in Linearfaktoren
> zerfällt, etwa
>
> [mm]p(\lambda)[/mm] = [mm](\lambda_1[/mm] - [mm]\lambda)^r_1[/mm] ... [mm](\lambda_k[/mm] -
> [mm]\lambda)^r_k[/mm] , [mm]r_1[/mm] + ... + [mm]r_k[/mm] = n
>
> wo die Nullstellen [mm]\lambda_1[/mm] , ... , [mm]\lambda_k[/mm] alle
> paarweise verschieden sien sollen, aber mit ihren
> algebraischen Vielfachheiten [mm]r_1,...,r_k[/mm] zu Potenzen
> zusammengefasst, und
>
> (2) für die verschiedenen Nullstellen [mm]\lambda_1[/mm] , ... ,
> [mm]\lambda_k[/mm] gilt [mm]Rang(C-\lambda_j 1I_n)[/mm] = [mm]n-r_j[/mm]
> (j=1,...,k)
>
> es geht nur um --> diese Richtung, die andere ist mir klar
> und ich habe auch den Beweis für diese besagte Richtung
> verstehe in nur an einer Stelle nicht also:
>
> --> Sei C diagonalisierbar, also etwa ähnlich zur Matrix C'
> die nur auf der Diagonale einträge hat und zwar auf den
> ersten [mm]r_1[/mm] Zeilen an der Diagonale [mm]\lambda_1[/mm] auf den
> nächsten [mm]r_2[/mm] Zeilen [mm]\lambda_2[/mm] und so weiter wobei die
> [mm]\lambda[/mm] 's die Eigenwerte sind. Dann zerfällt das
> charakteristische Polynom in [mm]p(\lambda)[/mm] = [mm](\lambda_1[/mm] -
> [mm]\lambda)^r_1[/mm] ... [mm](\lambda_k[/mm] - [mm]\lambda)^r_k[/mm] da dass
> charakteristische Polynom von C und C' gelich ist.
>
> Für j=1,...,k ist
>
> C' - [mm]\lambda_j 1I_n[/mm] = [mm]A^{-1}[/mm] C A - [mm]\lambda_j 1I_n[/mm] = [mm]A^{-1}[/mm]
> (C - [mm]\lambda_j 1I_n)[/mm] A
>
> und deswegen Rang (C' - [mm]\lambda_j 1I_n)[/mm] = Rang ( C -
> [mm]\lambda_j 1I_n)[/mm]
>
> Schließlich fallen in C' - [mm]\lambda_j 1I_n[/mm] genau die [mm]r_j[/mm]
> Diagonaleinträge weg, die gleich [mm]\lambda_j[/mm] sind, während an
> den anderen Stellen der Diagonale Zahlen [mm]\lambda_i[/mm] -
> [mm]\lambda_j[/mm] stehen. Diese sind ungleich Null, also ist der
> Rang(C' - [mm]\lambda_j 1I_n)[/mm] = n - [mm]r_j[/mm]
>
> es ist mir alles klar bis auf die rote Stelle, warum sind
> die beiden Ränge gleich? Vielleicht weil sich der Rang
> einer Matrix bei elementaren Zeilenumformungen nicht ändert
> und die Multiplikationen mit [mm]A^{-1}[/mm] und A einfach mehrere
> elemtare Zeilenumformungen sind?????
>
> dies würde ja ber bedeuten dass der Rang einer Matrix sich
> nie ändert wenn ich diese mit einer anderen Matrix
> multipliziere was ja aber nicht sein kann, denn hat eine
> Matrix B den Rang y und die Matrix H den Rang x dann kann
> das Produkt ja wenn überhaupt nur einen der beiden Ränge
> haben. Also muss es damit zu tun haben dass erst mit [mm]A^{-1}[/mm]
> von links und dann mit A von rechts multipliziert wird.
>
> vielen dank für eure Hilfe
>
> gruß
Ähnliche Matrizen haben den gleichen Rang !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Di 16.09.2008 | | Autor: | vivo |
ja aber warum ?
außerdem muss es ja auch aus obiger zeiler herauskommen.
danke
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> ja aber warum ?
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> außerdem muss es ja auch aus obiger zeiler herauskommen.
Hallo,
ja, eben deshalb.
In der Zeile über der roten steht doch
C' - $ [mm] \lambda_j 1I_n [/mm] $ = $ [mm] A^{-1} [/mm] $ (C - $ [mm] \lambda_j 1I_n) [/mm] $ A.
Das ist doch gerade die Ähnlichkeit der beiden Matrizen. Die sind ähnlich ==> gleicher Rang (Nach einem Satz aus der Vorlesung)
Warum haben ähnliche Matrizen denselben Rang? Du kannst es Dir damit überlegen, daß die Matrix A von oben einen Isomorphismus beschreibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Di 16.09.2008 | | Autor: | vivo |
hi,
mhhh ... also ein isomorphismus überträgt basen ... dass würde heißen, dass sich die Basis für C nicht ändert wenn es von links mit A^-1 und auch nicht wenn von es von rechts mit A multipliziert wird ... also bleibt der rang gleich !?
leider steht in meinem skript nur dass ähnliche matrizen die gleiche det, spur und Eigenvektoren haben, über den rang finde ich nichts.
gruß und danke
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> hi,
>
> mhhh ... also ein isomorphismus überträgt basen ... dass
> würde heißen, dass sich die Basis für C nicht ändert wenn
> es von links mit A^-1 und auch nicht wenn von es von rechts
> mit A multipliziert wird ... also bleibt der rang gleich
> !?
Hallo,
in deinem aktuellen Beispiel reden wr aber nciht über C, sondern über (C' - $ [mm] \lambda_j *I_n) [/mm] $ und ( C - $ [mm] \lambda_j *I_n) [/mm] $.
Die sind's, die hier ähnlich sind.
Du kannst das Dranmultiplizieren von [mm] A^{-1} [/mm] und A ja als Basistransformation verstehen, und Du weißt, daß Matrizen, die durchBasistransformation auseinander hervorgehen, dieselbe Abbildung beschreiben, bloß bzgl anderer Basen.
Wenn sie dieselbe Abbildung beschreiben, müssen sie denselben Rang haben.
gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Mi 17.09.2008 | | Autor: | vivo |
alles klar, danke!
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