additiv < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 So 30.11.2008 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | Es sei f : R [mm] \rightarrow [/mm] R stetig und additiv (d.h. f(x+y) = f(x)+f(y) für alle x, y [mm] \in\IR\sub).
[/mm]
Beweisen Sie, dass f von der Form f(x) = cx mit einer Konstanten c [mm] \in\IR\sub [/mm] ist.
(Es gibt übrigens auch unstetige additive Funktionen [mm] \IR\sub\to\IR\sub, [/mm] die dann natürlich nicht mehr von der Form cx sind!)
Hinweis: Zeigen Sie dies nacheinander fü x [mm] \in\IN_0\sub,\in\IZ\sub,\in\IQ\sub. [/mm] Warum gilt es dann sogar für alle x [mm] \in\IR\sub [/mm] ? |
hallo leute,
leider weiß ich überhaupt nicht, wie ich das zeigen soll.
was soll mir diese aussage eigentlich sagen?
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 So 30.11.2008 | | Autor: | erisve |
Hallo,
naja wie der Hinweis sagt, sollst du ja eine Fallunterscheidung machen,
für [mm] \in \IN [/mm] klappt es mit Induktion,
also Induktionsannahme f(n)=cn additive Funktion
für f(0)+f(0)=f(0+0) richtig
f(1):=c
Indutionsschluss f(n)+f(1)= cn+c= c(n+1) =f(n+1)
auch für x aus [mm] \IZ [/mm] kannst du so argumentieren (nur dass du bei negativen zahlen eben noch ein negatives zeichen mitschleppst!
Als nächstes sollen wir zeigen ,dass es auch für zahlen aus [mm] \IQ [/mm] gilt , da weiß ich leider auch nicht weiter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 So 30.11.2008 | | Autor: | dorix |
hallo erisve,...
danke dir. an ind. hatte ich noch gar nicht gedacht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 So 30.11.2008 | | Autor: | erisve |
das hatten wir in der übung schon angeschnitten dass man das wohl mit induktion macht,
aber falls du ne idee für Q hast nur her damit,
meinst du man muss die stetigkeit auch noch zeigen ?
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