abzählbare Indexmenge < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich komme bei einer Stochastikaufgabe nicht weiter und hoffe, dass mir jetzt hier weitergeholfen werden kann...
Aufgabe:
Es sei (Omega, [mm] \cal{A}, \cal{P}) [/mm] ein W-Raum und I eine beliebige Indexmenge. Für i [mm] \in [/mm] I seien [mm] A_{i} \in \cal{A} [/mm] paarweise disjunkte Mengen. Zeigen Sie, dass dann [mm] I_{0} [/mm] := {i [mm] \in [/mm] I : [mm] P(A_{i}) [/mm] >0} höchstens abzählbar ist!
1. Ich weiß gar nicht genau, was abzählbar bedeutet... Heißt das einfach, dass die Menge endlich ist?
2. Die Summe der [mm] P(A_{i}) [/mm] kann ja höchstens 1 werden, oder? Dann wäre ja klar, dass in der Indexmenge nicht unendlich viele Elemente seien können... Aber wie beweist man sowas?
Kann mir jemand helfen? Danke schonmal im Voraus!
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Hallo!
Eine abzählbare Menge kann durchaus unendlich sein, nimm zum Beispiel die natürlichen Zahlen. Oder [mm] $\IQ$. [/mm] Eine Menge heißt abzählbar, wenn es eine Bijektion in die natürlichen Zahlen gibt.
In der Tat zieht dein Argument mit [mm] $\sum_{i\in I}P(A_i)=1$, [/mm] allerdings kann die Summe über unendlich viele Glieder durchaus endlich sein. Nimm z.B. [mm] $\sum_{n=1}^\infty \bruch{1}{2^n}$. [/mm] Allerdings sind Summen über überabzählbar viele Glieder niemals endlich...
Gruß, banachella
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Und wie kann man das mit der Summe dann beweisen? Oder reicht das gar nicht?
Bekomme ich einen Tip?
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Dann könnte ich also schreiben, dass die Summe 1 ergeben muss (also ist sie endlich). Und da Summen über überabzählbar vielen Gliedern nicht endlich sind, muss die Menge abzählbar sein...
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Nach dem 3. Axiom von Kolmogoroff ist
[mm]P( \bigcup_{i} A_i) = \sum_{i}P(A_i)[/mm]
Wenn nur endlich viele Ereignisse [mm] A_1 ..... A_n[/mm] vorliegen, dann steht rechts eine gewöhnliche (endliche) Summe.
Sind aber abzählbar unendlich viele [mm] A_i [/mm] vorhanden, so steht rechts eine konvergente unendliche Reihe.
Hilft Dir das weiter ?
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Nicht ganz, weil mir nicht genau klar ist, was abzählbar oder überabzählbar bedeutet... Das hatte ich noch nicht in der Uni!
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Die natürlichen Zahlen [mm]\mathbb{N}[/mm] (1,2,3,4,5,....) sind abzählbar unendlich, wärend die reellen Zahlen [mm]\mathbb{R}[/mm] (einige der Brüche, Wurzeln, Pi, e, ... etc.) eben überabzählbar sind.
Es gibt einen Beweis von Cantor, der zeigt, dass keine bijektive (zu jedem Element genau ein Element zuordnende) Abbildung von den reellen Zahlen [mm]\mathbb{R}[/mm] zu den natürlichen Zahlen [mm]\mathbb{N}[/mm] möglich ist. D.h. es gibt auf eine besondere Art viel mehr davon.
Daher spricht man von einer grösseren Mächtigkeit oder eben von überabzählbar unendlich.
Hoffe das hilft
Gruss
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