abzählbare Basis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben X ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] der Topologie. Zeigen Sie, dass jede andere Basis von X eine abzählbare Teilmenge hat, die selbst wieder Basis von X ist. |
Nun, habe lange versucht, diese Aufgabe zu zeigen, scheitere aber immer.
Ich habe u. a. versucht, es folgendermaßen zu zeigen:
Sei X topologischer Raum mit abzählbarer Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] und eine [mm] \mathcal{C} [/mm] eine Menge von Teilmengen von X, wobei jede abzählbare Teilmenge von X keine Basis für die Topologie ist.
Dann gibt es eine offene Menge O, die sich als Vereinigung von Elementen aus [mm] \mathcal{B}, [/mm] aber nicht aus einer abzählbaren Teilmenge von [mm] \mathcal{C} [/mm] darstellen lässt.
Nun fehlt mir ein Argument, dass sich dann O auch nicht als Vereinigung von Elementen von [mm] \mathcal{C} [/mm] darstellen lässt.. Bin auch nicht so geübt mit unendlichen Mengen.. Hat vllt. jemand einen Tipp für mich?
Oder bin ich total auf dem Holzweg?
Grüße,
Herr von Omikron
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
bei dieser Aufgabe finde ich es schwierig, Tipps zu geben. Daher schon eine recht weitgehende Lösungsskizze:
Da die Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] abzählbar ist, lässt sie sich in der Form [mm] \mathcal{B}=\{B_n|n\in\IN\} [/mm] schreiben.
Sei nun [mm] \mathcal{C} [/mm] eine beliebige Basis.
Überlege dir, warum es genügt zu zeigen, dass jedes Element [mm] B\in\mathcal{B} [/mm] sich als abzählbare Vereinigung von Elementen aus [mm] \mathcal{C} [/mm] schreiben lässt.
Sei also [mm] B\in\mathcal{B}.
[/mm]
Zunächst einmal wissen wir, dass sich B als (nicht notwendig abzählbare) Vereinigung von Elementen aus [mm] \mathcal{C} [/mm] darstellen lässt, etwa
[mm] B=\bigcup_{i\in I}C_i
[/mm]
für eine Menge I und gewisse [mm] C_i\in\mathcal{C}.
[/mm]
Wir werden zeigen, dass abzählbar viele [mm] C_i [/mm] schon ausreichen, um als Vereinigung B zu erhalten.
Dazu bringen wir die abzählbare Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] ins Spiel und stellen jedes [mm] C_i [/mm] als Vereinigung von Elementen aus [mm] \mathcal{B} [/mm] dar:
[mm] $C_i=\bigcup_{n\in N_i}B_n$
[/mm]
für gewisse Mengen [mm] N_i\subseteq\IN.
[/mm]
Dann ist [mm] N:=\bigcup_{i\in I}N_i [/mm] abzählbar (warum?).
Wähle für alle [mm] $n\in [/mm] N$ ein [mm] $i_n\in [/mm] I$ mit [mm] $n\in N_i$.
[/mm]
Zeige nun:
[mm] B=\bigcup_{n\in N}C_{i_n}.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Vielen Dank für diese ausführliche Antwort (auch für die im anderen Thema).
> Hallo,
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> bei dieser Aufgabe finde ich es schwierig, Tipps zu geben.
> Daher schon eine recht weitgehende Lösungsskizze:
>
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> Da die Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] abzählbar ist, lässt sie sich in
> der Form [mm]\mathcal{B}=\{B_n|n\in\IN\}[/mm] schreiben.
>
> Sei nun [mm]\mathcal{C}[/mm] eine beliebige Basis.
>
> Überlege dir, warum es genügt zu zeigen, dass jedes
> Element [mm]B\in\mathcal{B}[/mm] sich als abzählbare Vereinigung
> von Elementen aus [mm]\mathcal{C}[/mm] schreiben lässt.
Das müsste sein, weil man schon jedes Element aus der Topologie als abzählbare Vereinigung von Elementen in [mm] \mathcal{B} [/mm] schreiben kann, wenn man jedes davon als abzählbare Vereinigung von [mm] \mathcal{C}-Mengen [/mm] schreiben kann, kann man dadurch auch jedes Element aus der Topologie mit abzählbar vielen [mm] \mathcal{C}-Elementen [/mm] schreiben.
>
> Sei also [mm]B\in\mathcal{B}.[/mm]
>
> Zunächst einmal wissen wir, dass sich B als (nicht
> notwendig abzählbare) Vereinigung von Elementen aus
> [mm]\mathcal{C}[/mm] darstellen lässt, etwa
>
> [mm]B=\bigcup_{i\in I}C_i[/mm]
>
> für eine Menge I und gewisse [mm]C_i\in\mathcal{C}.[/mm]
>
> Wir werden zeigen, dass abzählbar viele [mm]C_i[/mm] schon
> ausreichen, um als Vereinigung B zu erhalten.
>
> Dazu bringen wir die abzählbare Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] ins
> Spiel und stellen jedes [mm]C_i[/mm] als Vereinigung von Elementen
> aus [mm]\mathcal{B}[/mm] dar:
>
> [mm]C_i=\bigcup_{n\in N_i}B_n[/mm]
>
> für gewisse Mengen [mm]N_i\subseteq\IN.[/mm]
>
> Dann ist [mm]N:=\bigcup_{i\in I}N_i[/mm] abzählbar (warum?).
N muss ja eine Teilmenge von [mm] \mathcal{B} [/mm] sein.
>
> Wähle für alle [mm]n\in N[/mm] ein [mm]i_n\in I[/mm] mit [mm]n\in N_i[/mm].
>
> Zeige nun:
>
> [mm]B=\bigcup_{n\in N}C_{i_n}.[/mm]
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Sa 24.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Überlege dir, warum es genügt zu zeigen, dass jedes
> > Element [mm]B\in\mathcal{B}[/mm] sich als abzählbare Vereinigung
> > von Elementen aus [mm]\mathcal{C}[/mm] schreiben lässt.
>
> Das müsste sein, weil man schon jedes Element aus der
> Topologie als abzählbare Vereinigung von Elementen in
> [mm]\mathcal{B}[/mm] schreiben kann, wenn man jedes davon als
> abzählbare Vereinigung von [mm]\mathcal{C}-Mengen[/mm] schreiben
> kann, kann man dadurch auch jedes Element aus der Topologie
> mit abzählbar vielen [mm]\mathcal{C}-Elementen[/mm] schreiben.
Ja, aber wie bekommst du nun eine abzählbare Teilmenge von [mm] $\mathcal{C}$, [/mm] die Basis des topologischen Raumes ist? Wenn jede offene Teilmenge sich als abzählbare Vereinigung von Elementen aus [mm] \mathcal{C} [/mm] schreiben lässt, erhältst du ja möglicherweise insgesamt überabzählbar viele Elemente von [mm] \mathcal{C}.
[/mm]
> > [mm]C_i=\bigcup_{n\in N_i}B_n[/mm]
> >
> > für gewisse Mengen [mm]N_i\subseteq\IN.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]N:=\bigcup_{i\in I}N_i[/mm] abzählbar (warum?).
>
> N muss ja eine Teilmenge von [mm]\mathcal{B}[/mm] sein.
So wie ich es aufgeschrieben habe, ist N eine Teilmenge von [mm] \IN, [/mm] nicht von [mm] \mathcal{B}. [/mm] Aber die Lösung lässt sich problemlos so umschreiben, dass du Recht hast.
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