abzählbar,überabzählbar,endl.d < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Es sei S eine endliche Menge, die nur endliche Mengen als Elemente enthält. Zeige, dass [mm] $\bigcup$S [/mm] endlich ist.
b)
Gibt es eine endliche Menge S, für die gilt, dass [mm] $\bigcup$S [/mm] überabzählbar ist?
c)
Gibt es eine überabzählbare Menge A und eine abzählbare Menge [mm] B$\subseteq$A, [/mm] so dass [mm] A\B [/mm] abzählbar ist? |
Nun wie schon so oft, weiss ich bei solchen Aufgaben nie wie ich beginnen soll. Ich schaue mir immer die Definitionen an, aber ich kann nie etwas schlaues daraus gewinnen. Darum wäre ich um jeden Denkanstoss von euch dankbar.
SA
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moin,
> a)
> Es sei S eine endliche Menge, die nur endliche Mengen als
> Elemente enthält. Zeige, dass [mm]\bigcup[/mm]S endlich ist.
>
Sei $n = |S|$.
Da $n$ endlich ist, kannst du eine Induktion nach $n$ machen.
> b)
> Gibt es eine endliche Menge S, für die gilt, dass
> [mm]\bigcup[/mm]S überabzählbar ist?
[mm] $\{\IR\}$ [/mm] ?
> c)
> Gibt es eine überabzählbare Menge A und eine abzählbare
> Menge B[mm]\subseteq[/mm]A, so dass [mm]A\B[/mm] abzählbar ist?
Es ist $B [mm] \cup [/mm] A [mm] \backslash [/mm] B = A$. Was weißt du über die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen?
lg
Schadow
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> moin,
>
> > a)
> > Es sei S eine endliche Menge, die nur endliche Mengen als
> > Elemente enthält. Zeige, dass [mm]\bigcup[/mm]S endlich ist.
> >
>
> Sei [mm]n = |S|[/mm].
> Da [mm]n[/mm] endlich ist, kannst du eine Induktion
> nach [mm]n[/mm] machen.
Wie meinst du das genau?
> > b)
> > Gibt es eine endliche Menge S, für die gilt, dass
> > [mm]\bigcup[/mm]S überabzählbar ist?
>
> [mm]\{\IR\}[/mm] ?
>
>
> > c)
> > Gibt es eine überabzählbare Menge A und eine
> abzählbare
> > Menge B[mm]\subseteq[/mm]A, so dass [mm]A\B[/mm] abzählbar ist?
>
> Es ist [mm]B \cup A \backslash B = A[/mm]. Was weißt du über die
> Vereinigung zweier abzählbarer Mengen?
Diese zwei Aufgaben sind mir nun klar. Danke!
> lg
>
> Schadow
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 So 07.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > moin,
> >
> > > a)
> > > Es sei S eine endliche Menge, die nur endliche Mengen als
> > > Elemente enthält. Zeige, dass [mm]\bigcup[/mm]S endlich ist.
> > >
> >
> > Sei [mm]n = |S|[/mm].
> > Da [mm]n[/mm] endlich ist, kannst du eine
> Induktion
> > nach [mm]n[/mm] machen.
>
> Wie meinst du das genau?
Du machst Induktion über [mm] $n=|S|\,.$ [/mm] Induktionsstart mit [mm] $n=0\,$ [/mm] ist wohl
sinnvoll: Also Induktion über $|S|=n [mm] \in \IN_0\,.$
[/mm]
(Du zeigst also: Ist [mm] $S\,$ [/mm] eine Menge so, dass die Elemente von [mm] $S\,,$ [/mm]
derer an der Zahl [mm] $n\,,$ [/mm] selbst endliche Mengen sind, so ist [mm] $\bigcup [/mm] S$
eine endliche Menge. Kurzgesagt: Endliche Vereinigungen (d.h. eine
Vereinigung von ENDLICH VIELEN Mengen) endlicher Mengen (d.h. jede
der beteiligten Mengen ist selbst endlich, enthält also nur endlich viele
Elemente) sind endlich.
Man kann sich das auch ohne Induktion überlegen, indem man erstmal
annimmt, dass die Mengen, über die man vereinigt, paarweise disjunkt
sind. Dann kann man nämlich die Anzahl der Elemente, die [mm] $\bigcup [/mm] S$
hat, mithilfe einer (endlichen(!)) Summe hinschreiben. Und damit kann
man sich quasi überlegen, was eine obere Schranke für die Anzahl
der Elemente der Vereinigung [mm] $\bigcup [/mm] S$ ist, wenn die beteiligten
Mengen nicht notwendig paarweise disjunkt sind.
Gruß,
Marcel
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