abstand und spiegeln < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ich komme leider nicht weiter, bzw. finde nicht mal einen ansatz!
1. frage: bestimme den abstand der windschiefen geraden
g:x= (1/1/2)+k*(1/0/2) und h:x=(2/1/0)+l*(-6/6/3)
2. frage: spiegele die gerade g1 an der geraden g2!
g1= (0/0,5/-2)+k* (4/-3/-2)
g2= (-2/2/3) + l* (5/3/-1)
kann dieses thema leider gar nicht........wenn jemand so nett ist und das erklärt, dann bitte für absolute anfänger! gerne auch mit beispiel 
vielen dank!!!
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Hallo,
> 1. frage: bestimme den abstand der windschiefen geraden
> g:x= (1/1/2)+k*(1/0/2) und h:x=(2/1/0)+l*(-6/6/3)
der Abstand zweier windschiefer Geraden
[mm]\begin{gathered}
g:\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {a_{1} } \; + \;s\;\overrightarrow {b_{1} } \hfill \\
h:\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {a_{2} } \; + \;t\;\overrightarrow {b_{2} } \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
ist definiert als der Abstand der parallelen Ebenen
[mm]
\begin{gathered}
\varepsilon _{1} :\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {a_{1} } \; + \;s\;\overrightarrow {b_{1} } \; + \;t\;\overrightarrow {b_{2} } \hfill \\
\varepsilon _{2} :\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {a_{2} } \; + \;s\;\overrightarrow {b_{1} } \; + \;t\;\overrightarrow {b_{2} } \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Nun läßt sich bekanntlich eine Ebene anders darstellen:
[mm]
\varepsilon _{1} :\;\left( {\overrightarrow x \; - \;\overrightarrow {a_{1} } } \right)\;\left( {\overrightarrow {b_{1} } \; \times \overrightarrow {b_{2} } } \right)\; = \;0[/mm]
Hieraus ergibt sich dann der Abstand zu
[mm]d\; = \;\frac{{\left| {\left( {\overrightarrow {a_{2} } \; - \;\overrightarrow {a_{1} } } \right)\;\left( {\overrightarrow {b_{1} } \; \times \overrightarrow {b_{2} } } \right)} \right|}}
{{\left| {\overrightarrow {b_{1} } \; \times \overrightarrow {b_{2} } } \right|}}[/mm]
> 2. frage: spiegele die gerade g1 an der geraden g2!
>
> g1= (0/0,5/-2)+k* (4/-3/-2)
> g2= (-2/2/3) + l* (5/3/-1)
Hier wird man zuerst denn Schnittpunkt von g1 mit g2 bestimmen. Und dann das Lot von (0/0,5/-2) auf g2 bestimmen. Danach wird man den Punkt (0/0,5/-2) spiegeln, d.h. von diesem Punkt zweimal das Lot abziehen ergibt den gespiegelten Punkt.
Nun hat man zwei Punkte, den Schnittpunkt von g1 mit g2 und den gespiegelten Punkt. Diese beiden Punkte verbinden und dann den Richtungsvektor noch berechen,, und schon hat man die Gleichung der Geraden.
Gruß
MathePower
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vielen dank für die antwort!
allerdings komme ich mit beiden aufgaben trotzdem nicht weiter.
gerade die zweite fällt mir schwer. schnittpu kt zu berechnen ist ja noch einfach, aber das lot von dem punkt (0/0,5/-2) auf die gerade g.....wie geht das?! sorry, aber ich fange mit dem thema erst an, ich kanns wirklich nicht.
soll ich den punkt p vielleicht als stützvektor nehmen?wenn ja, was soll ich als richtungsvektor nehmen.oh man, es tut mir wirklich leid!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo ...,
ich finde, wenn es mit beiden Aufgaben nicht klappt, solltest du erstmal die erste lösen, und dich danach an der zweiten festbeißen.
zu 1.
Vorgehen:
a) aus den zwei Geradengleichungen kannst du anhand der Spannvektoren die Ebenengleichung in der allgemeinen Form n1*x1 + n2*x2 + n3*x3 = d aufstellen
b) durch das Einsetzen des Punktes (1|1|2) der Geraden g errechnest du das "d"
c) Stichwort Hesse Normalform: Über die HNF kannst du jetzt den Abstand des Punktes (2|1|0) der Geraden h zur Ebene bestimmen.
Ich komme so auf ungefähr 1,1925...
Wenn du beim Lösen der Aufgabe irgendwo hängen bleibst, frag ruhig nach.
Gruß Herby
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Hi, massiver_ton,
> gerade die zweite fällt mir schwer. schnittpu kt zu
> berechnen ist ja noch einfach, aber das lot von dem punkt
> (0/0,5/-2) auf die gerade g.....wie geht das?!
Du nimmst den Punkt P als Aufpunkt (Ihr sagt scheint's Stützvektor dazu) einer EBENE, die auf der Geraden g senkrecht steht:
Diese Ebene erstellst Du in Normalenform mit dem Richtungsvektor der Geraden g als NORMALENVEKTOR (Aufpunkt wie gesagt: P(0/0,5/-2)).
Dann schneidest Du die Ebene mit der Geraden g und schon hast Du den gesuchten Lotfußpunkt!
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Zwerglein,
funktioniert das mit dem Lot und spiegeln eigentlich nur, wenn die Geraden sich schneiden???
Schneiden sie sich nicht, welchen Bezug hat dann die Ebene?? Wohin soll dann die Gerade gespiegelt werden??
Gruß Herby
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Hallo Herby,
>
> funktioniert das mit dem Lot und spiegeln eigentlich nur,
> wenn die Geraden sich schneiden???
>
> Schneiden sie sich nicht, welchen Bezug hat dann die
> Ebene?? Wohin soll dann die Gerade gespiegelt werden??
ich bin zu dem Schluß gekommen, daß hier die Senkrechte Projektion weiterhilft. Im Grunde ist das nichts anderes als das Lot von [mm]g_{1}[/mm] auf [mm]g_{2}[/mm]. Hier wird der Ortsvektor der Geraden [mm]g_{1}[/mm] orthogonal auf die Gerade [mm]g_{2}[/mm] abgebildet. Das läßt sich hier auch mit der ganzen Gerade [mm]g_{1}[/mm] machen.
Ich denke mal eine Zeichnung hierzu ist nicht schlecht.
Gruß
MathePower
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Hallo,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Erläuterung:
[mm]a_{1}[/mm] ist der Ortsvektor der Geraden [mm]g_{1}[/mm]
[mm]a_{2}[/mm] ist der Ortsvektor der Geraden [mm]g_{2}[/mm]
[mm]b_{2}[/mm] ist der Richtungsvektor der Geraden [mm]g_{2}[/mm]
Gesucht ist das Lot von [mm]a_{1}[/mm] auf die Gerade [mm]g_{2}[/mm].
Demnach muß gelten:
[mm]
\begin{gathered}
< \;a_{1} \; - \;a_{2} \; - \;t\;b_{2} ,\;b_{2} > \; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \; < \;a_{1} \; - \;a_{2} ,\;b_{2} > \; = \;t\; < \;b_{2} ,\;b_{2} > \hfill \\
\Rightarrow \;t\; = \;\frac{{ < \;a_{1} \; - \;a_{2} ,\;b_{2} > }}
{{ < \;b_{2} ,\;b_{2} > }} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
<..., .... > ist das Standardskalarprodukt.
Nun kannst Du auch den gespiegelten Punkt ermitteln.
Gruß
MathePower
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi, herby,
wenn die Geraden sich nicht schneiden, aber parallel zueinander liegen, reicht die Spiegelung eines Punktes, um die gespiegelte Gerade zu finden.
Sind die Geraden windschief, musst Du einen zweiten Punkt nach derselben Methode spiegeln (andere Hilfsebene, da anderer Aufpunkt, jedoch parallel zur ersten).
Noch Fragen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Zwerglein,
Hallo MathePower
und vor allem..
Haaaallllllooooooo maaasssssiiiiivvveer_toooooon,
wo steckst du????
..... immerhin kamen die Fragen ja von dir!!!!!
Ich hab zwischenzeitlich 'mal die Aufgabe 2 gelöst, nach folgendem Schema:
i) Zu spiegeln ist Punkt A (in unserem Fall der Ortsvektor von g1) an g2
ii) Zu spiegeln ist Punkt B (in unserem Fall der Ortsvektor von g1 + (- [mm] \bruch{1}{2})* [/mm] Richtungsvektor)) an g2
iii) Zu basteln ist aus A' und B' die Gerade g'1
i) A' = [mm] \vektor{-1,5 \\ 0,43 \\ 4}
[/mm]
ii) B = [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1} \Rightarrow [/mm] B' = [mm] \vektor{-0,86 \\ 2,69 \\ 6,77}
[/mm]
iii) g'1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1,5 \\ 0,43 \\ 4}+\lambda*\vektor{0,64 \\ 2,26 \\ 2,77}
[/mm]
Wenn es noch Schwierigkeiten gibt, lieber dreimal fragen, als einmal nicht verstehen!!!
Gruß an alle,
danke an MathePower und Zwerglein,
Herby
... alle Werte, die nicht "glatt" sind, sind gerundet!!!
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