abstand punkt ebene < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Lara102 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Ebene E: [mm] 10x_{1}+2x_{2}-11x_{3} [/mm] und der in E liegende Punkt Q (3/-2/2)
b, bestimmen sie alle punkte P der geraden g, die von der Ebene den ABstand 3 haben.
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hey :)
bräuchte hilfe bei dieser aufgabe.. ich weiß nicht wieso ich nicht weiterkomme.
die gerade g wurde in der teilaufgabe zuvor berechnet. sie lautet: x= [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 2} [/mm] +t* [mm] \vektor{10 \\ 2 \\ -11}
[/mm]
ich habe es jetzt sowohl mit der hesse'schen normalenform als auch mit folgendem weg versucht:
6=( [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ -2 \\2}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{15} [/mm] * [mm] \vektor{10 \\ 2 \\ -11}
[/mm]
was mach ich denn falsch?
vielen dank für die hilfe
lara =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mi 25.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Gerade schneidet die Ebene für t=0 in Q. der Richtungsvektor der Geraden ist ne Normale auf der Ebene.
d.h. du musst in der Richtung 3 weitergehen. nach 2 Seiten, dann hast du die 2 Punkte. Kannst du das?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Lara102 |
hm.. 3 auf welcher achse?
muss man da nichts rechnen??
lg lara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mi 25.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Lara,
> hm.. 3 auf welcher achse?
Schau Dir leduarts Antwort noch mal genau an! 
Keine Achse, auf der Geraden in Richtung des Richtungsvektors.
Versuch, Dir's vorzustellen:
Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene und schneidet sie in einem bestimmten Punkt. Wenn Du nun von dem Schnittpunkt aus auf der Geraden jeweils drei Einheiten in jede Richtung gehst, bist Du jeweils am Ziel. Dorthin kommst Du mit Hilfe des besagten Vektors.
> muss man da nichts rechnen??
Oh doch! Um vom Schnittpunkt exakt drei Einheiten weg zu kommen, musst Du etwas rechnen.
Übrigens: Wenn die Gerade nicht senkrecht stünde, ginge es natürlich nicht so einfach, dann müsste man tatsächlich mit der Hesse'schen arbeiten. Siehe dazu auch meine andere Antwort (die in ein paar Minuten kommt).
Schöne Grüße
ardik
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> Gegeben ist die Ebene E: [mm]10x_{1}+2x_{2}-11x_{3}[/mm] und der in
> E liegende Punkt Q (3/-2/2)
wie lautet die Gleichung der Ebene ?
jede Gleichung hat ein Gleichheitszeichen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mi 25.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Lara,
> Gegeben ist die Ebene E: [mm]10x_{1}+2x_{2}-11x_{3}[/mm]
Da fehlt noch was! Das ist so keine Ebenengleichung. (Allerdings lässt sich das Fehlende aus dem Rest der Aufgabe erschließen).
> und der in E liegende Punkt Q (3/-2/2)
> b, bestimmen sie alle punkte P der geraden g, die von der
> Ebene den ABstand 3 haben.
> die gerade g wurde in der teilaufgabe zuvor berechnet. sie
> lautet: x= [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ 2}[/mm] +t* [mm]\vektor{10 \\ 2 \\ -11}[/mm]
Leduarts Weg ist natürlich hier der wesentlich einfachere.
Aber mit der Hesse'schen geht's auch, Du solltest der Übung halber auch dies nochmal probieren.
> ich habe es jetzt sowohl mit der hesse'schen normalenform
> als auch mit folgendem weg versucht:
> 6=[mm]\left( \vektor{x \\ y \\ z}-\vektor{3 \\ -2 \\2}\right) * \bruch{1}{15}*\vektor{10 \\ 2 \\ -11}[/mm]
Hm. Dieser "folgende Weg" ist doch die Hesse'sche Normalenform...
Allerdings mit kleinem Fehler: Warum steht da vorn eine Sechs?
Für die Hesse'sche müsste da eine Null stehen.
Wenn's die Abstandsformel sein soll, müsste da z.B. ein d (für den Abstand) stehen (und genaugenommen die rechte Seite in Betragsstrichen).
Damit die Punkte den Abstand drei von der Ebene haben, muss da also eine Drei bzw. für die andere Seite Minus Drei (wenn wir ohne Betragsstriche arbeiten) stehen. Für den Vektor [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] setzt Du dann die Gerade ein, multiplizierst aus etc. und kannst schließlich t berechnen. Das wiederum in die Gerade eingesetzt liefert die Punkte.
Da Du ohnehin schon die Koordinatenform hast, kannst Du die x-, y-, z-Zeilen der Gerade auch gleich in diese einsetzen - wenn Du die [mm] $\frac{1}{15}$ [/mm] ebenfalls passend einbindest:
[mm] $\frac{1}{15}*(10*(3+10t)+2*(...)-11*(...)\ [/mm] ...$
Schöne Grüße
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Lara102 |
das hab ich nicht wirklich verstanden... =(
ich brauch doch für die hessesche in koordinatenform gar keinen normaleneinheitsvektor oder?
vielleicht habe ich es ja doch verstanden.. ich muss also die punkt normalen form aufstellen.. dann setze ich für x die vorher berechnete geradengleichung ein, und setzte das ganze gleich dem abstand, den die punkte haben sollen.
und anschließend bekomme ich für t einen wert raus, oder 2 wegen der betragsstriche und setze den in die geradengleichung ein. dadurch bekomme ich dann den /die punkte?? (für t bekomme ich 1/75 raus.. das stimmt wahrscheinlich nicht oder?)
schreib am mi ne klausur, wär also super, wenn mir das nochmal jemand erklären könnte :)
lg, lara
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hallo lara,
1.) die vollständige Ebenengleichung lautet:
10 x + 2 y - 11 z - 4 = 0
2.) Die Gerade g ist offensichtlich eine Normale (Senkrechte) zu E,
da ihr Richtungsvektor ein Normalenvektor von E ist.
3.) Weil Q der Schnittpunkt von g mit E ist, musst du also
nur von diesem Punkt Q aus der Geraden g entlang auf
beide Seiten hin die Strecke 3 abtragen.
Der Richtungsvektor [mm] \vektor{10\\2\\-11} [/mm] hat die Länge
[m]\wurzel{10^2+2^2+11^2}=15[/m]. Um ihn auf die Länge
3 zu reduzieren, muss man ihn durch 5 teilen. Ergebnis:
[mm] \vektor{2\\0.4\\-2.2}.
[/mm]
Diesen Vektor und seinen Gegenvektor [mm] \vektor{-2\\-0.4\\+2.2}
[/mm]
kannst du jetzt von Q aus abtragen und erhältst als
Zielpunkte die gesuchten Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] .
Gruß al-Chw.
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