abstand eines punkts von ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Fr 29.04.2011 | | Autor: | susi111 |
| Aufgabe | gegeben ist eine ebene E.
bestimme alle punkte, die von der ebene den abstand 3 haben.
E: [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ -1\\4}+r*\vektor{1 \\ 0\\-2}+s*\vektor{2 \\ 1\\1} [/mm] |
ich weiß jetzt, dass man diesen abstand durch die formel
[mm] \vec{n}*(\vec{p}-\vec{x}) [/mm] berechnet, wobei [mm] \vec{p} [/mm] der punkt und [mm] \vec{x} [/mm] ein punkt der ebene ist.
wenn ich die ebene in die normalenform umforme, erhalte ich:
[mm] \vektor{-2 \\ 5\\-1}\*\vektor{x \\ y\\z}=-13
[/mm]
der normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] ist also [mm] \vektor{-2 \\ 5\\-1}
[/mm]
wie finde ich jetzt heraus, welche punkte von der ebene den abstand 3 haben?
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Hallo susi111,
> gegeben ist eine ebene E.
> bestimme alle punkte, die von der ebene den abstand 3
> haben.
>
> E: [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ -1\\4}+r*\vektor{1 \\ 0\\-2}+s*\vektor{2 \\ 1\\1}[/mm]
>
> ich weiß jetzt, dass man diesen abstand durch die formel
> [mm]\vec{n}*(\vec{p}-\vec{x})[/mm] berechnet, wobei [mm]\vec{p}[/mm] der
> punkt und [mm]\vec{x}[/mm] ein punkt der ebene ist.
>
> wenn ich die ebene in die normalenform umforme, erhalte
> ich:
> [mm]\vektor{-2 \\ 5\\1}\*\vektor{x \\ y\\z}=-13[/mm]
>
> der normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] ist also [mm]\vektor{-2 \\ 5\\1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wie finde ich jetzt heraus, welche punkte von der ebene den
> abstand 3 haben?
Die Punkte liegen auf parallelen Ebenen zu der gegebenen Ebene.
Es ändert sich somit nur der Stützvektor der Ebene.
Diesen erhältst Du in dem Du das 3fache des Normaleneinheitsvektors
zu dem Stützvektor der gegebenen Ebene addierst bzw. subtrahierst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Fr 29.04.2011 | | Autor: | susi111 |
> Hallo susi111,
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> > gegeben ist eine ebene E.
> > bestimme alle punkte, die von der ebene den abstand 3
> > haben.
> >
> > E: [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ -1\\4}+r*\vektor{1 \\ 0\\-2}+s*\vektor{2 \\ 1\\1}[/mm]
>
> >
> > ich weiß jetzt, dass man diesen abstand durch die formel
> > [mm]\vec{n}*(\vec{p}-\vec{x})[/mm] berechnet, wobei [mm]\vec{p}[/mm] der
> > punkt und [mm]\vec{x}[/mm] ein punkt der ebene ist.
> >
> > wenn ich die ebene in die normalenform umforme, erhalte
> > ich:
> > [mm]\vektor{-2 \\ 5\\1}\*\vektor{x \\ y\\z}=-13[/mm]
> >
> > der normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] ist also [mm]\vektor{-2 \\ 5\\1}[/mm]
>
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>
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> >
> > wie finde ich jetzt heraus, welche punkte von der ebene den
> > abstand 3 haben?
>
>
> Die Punkte liegen auf parallelen Ebenen zu der gegebenen
> Ebene.
>
> Es ändert sich somit nur der Stützvektor der Ebene.
>
> Diesen erhältst Du in dem Du das 3fache des
> Normaleneinheitsvektors
> zu dem Stützvektor der gegebenen Ebene addierst bzw.
> subtrahierst.
>
heißt das folgendes:
der normaleneinheitsvektor wäre dann [mm] \vektor{ \bruch{-2}{\wurzel{30}}\\ \bruch{5}{\wurzel{30}}\\\bruch{-1}{\wurzel{30}}}
[/mm]
den soll ich 3fach nehmen und zum stützvektor addieren. heißt das:
[mm] 3*\vektor{ \bruch{-2}{\wurzel{30}}\\ \bruch{5}{\wurzel{30}}\\\bruch{-1}{\wurzel{30}}}\pm\vektor{2 \\ -1\4}
[/mm]
dann würde ich herausbekommen:
[mm] \vektor{ \bruch{-6}{\wurzel{30}}\\ \bruch{15}{\wurzel{30}}\\\bruch{-3}{\wurzel{30}}}
[/mm]
bzw.
[mm] \vektor{ \bruch{6}{\wurzel{30}}\\ \bruch{-15}{\wurzel{30}}\\\bruch{3}{\wurzel{30}}}
[/mm]
heißt das jetzt, dass alle punkte, die auf der ebene
[mm] \vektor{ \bruch{-6}{\wurzel{30}}\\ \bruch{15}{\wurzel{30}}\\\bruch{-3}{\wurzel{30}}}+r*\vektor{1 \\ 0\\-2}+s*\vektor{2 \\ 1\\1}
[/mm]
und alle punkte, die auf der ebene
[mm] \vektor{ \bruch{6}{\wurzel{30}}\\ \bruch{-15}{\wurzel{30}}\\\bruch{3}{\wurzel{30}}}+r*\vektor{1 \\ 0\\-2}+s*\vektor{2 \\ 1\\1}
[/mm]
den abstand zur ebene E haben?
> Gruss
> MathePower
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Hallo susi111,
> > Hallo susi111,
> >
> > > gegeben ist eine ebene E.
> > > bestimme alle punkte, die von der ebene den abstand
> 3
> > > haben.
> > >
> > > E: [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ -1\\4}+r*\vektor{1 \\ 0\\-2}+s*\vektor{2 \\ 1\\1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ich weiß jetzt, dass man diesen abstand durch die formel
> > > [mm]\vec{n}*(\vec{p}-\vec{x})[/mm] berechnet, wobei [mm]\vec{p}[/mm] der
> > > punkt und [mm]\vec{x}[/mm] ein punkt der ebene ist.
> > >
> > > wenn ich die ebene in die normalenform umforme, erhalte
> > > ich:
> > > [mm]\vektor{-2 \\ 5\\1}\*\vektor{x \\ y\\z}=-13[/mm]
> > >
> > > der normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] ist also [mm]\vektor{-2 \\ 5\\1}[/mm]
>
> >
> >
> >
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> >
> > >
> > > wie finde ich jetzt heraus, welche punkte von der ebene den
> > > abstand 3 haben?
> >
> >
> > Die Punkte liegen auf parallelen Ebenen zu der gegebenen
> > Ebene.
> >
> > Es ändert sich somit nur der Stützvektor der Ebene.
> >
> > Diesen erhältst Du in dem Du das 3fache des
> > Normaleneinheitsvektors
> > zu dem Stützvektor der gegebenen Ebene addierst bzw.
> > subtrahierst.
> >
>
> heißt das folgendes:
>
> der normaleneinheitsvektor wäre dann [mm]\vektor{ \bruch{-2}{\wurzel{30}}\\ \bruch{5}{\wurzel{30}}\\\bruch{-1}{\wurzel{30}}}[/mm]
>
> den soll ich 3fach nehmen und zum stützvektor addieren.
> heißt das:
>
> [mm]3*\vektor{ \bruch{-2}{\wurzel{30}}\\ \bruch{5}{\wurzel{30}}\\\bruch{-1}{\wurzel{30}}}\pm\vektor{2 \\ -1\4}[/mm]
>
Das muss doch so lauten_
[mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 4}\pm3*\vektor{ \bruch{-2}{\wurzel{30}}\\ \bruch{5}{\wurzel{30}}\\\bruch{-1}{\wurzel{30}}}[/mm]
>
> dann würde ich herausbekommen:
> [mm]\vektor{ \bruch{-6}{\wurzel{30}}\\ \bruch{15}{\wurzel{30}}\\\bruch{-3}{\wurzel{30}}}[/mm]
>
> bzw.
> [mm]\vektor{ \bruch{6}{\wurzel{30}}\\ \bruch{-15}{\wurzel{30}}\\\bruch{3}{\wurzel{30}}}[/mm]
>
> heißt das jetzt, dass alle punkte, die auf der ebene
> [mm]\vektor{ \bruch{-6}{\wurzel{30}}\\ \bruch{15}{\wurzel{30}}\\\bruch{-3}{\wurzel{30}}}+r*\vektor{1 \\ 0\\-2}+s*\vektor{2 \\ 1\\1}[/mm]
>
> und alle punkte, die auf der ebene
> [mm]\vektor{ \bruch{6}{\wurzel{30}}\\ \bruch{-15}{\wurzel{30}}\\\bruch{3}{\wurzel{30}}}+r*\vektor{1 \\ 0\\-2}+s*\vektor{2 \\ 1\\1}[/mm]
>
> den abstand zur ebene E haben?
>
Hier musst Du doch als neuen Stützvektor
[mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 4}-3*\vektor{ \bruch{-2}{\wurzel{30}}\\ \bruch{5}{\wurzel{30}}\\\bruch{-1}{\wurzel{30}}}[/mm]
bzw.
[mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 4}+3*\vektor{ \bruch{-2}{\wurzel{30}}\\ \bruch{5}{\wurzel{30}}\\\bruch{-1}{\wurzel{30}}}[/mm]
wählen.
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>
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Fr 29.04.2011 | | Autor: | susi111 |
achso! stimmt ja ;)
dankeschön :)
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