abstände im koordinatensyst. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Pompeius |
hi an alle mathe-freaks!!
hab mal eine frage zu einer aufgabe:
eine raumsonde bewege sich auf einer parabelförmigen bahn mit der GL. [mm] y=0,25x^2. [/mm] An welchem bahnpunkt ist die entfernung zum punkt B(3/0) am geringsten?
meine ansätze:
erstmal die ableitung von f(x)
f´(x)= 0,5x
bloß wie geht es weiter?
wenn m1=m2 ist könnte ich mit y=mx+n eine geradengleichung für den punkt B(3/0) ermiiteln...
da die ableitung y=0,5x ist, wäre dann 0,5 das m!?
die geradengleichung des punktes wäre dann : y=0,5x-1,5...
aber wie bekomme ich raus welcher punkt der parabel am nächsten dem punkt B(0/3) ist???
ich weiß echt nicht weiter...
freue mich über alle hinweise und sage schon mal danke !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Fugre |
> hi an alle mathe-freaks!!
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> hab mal eine frage zu einer aufgabe:
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> eine raumsonde bewege sich auf einer parabelförmigen bahn
> mit der GL. [mm]y=0,25x^2.[/mm] An welchem bahnpunkt ist die
> entfernung zum punkt B(3/0) am geringsten?
>
> meine ansätze:
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> erstmal die ableitung von f(x)
>
> f´(x)= 0,5x
>
> bloß wie geht es weiter?
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> wenn m1=m2 ist könnte ich mit y=mx+n eine geradengleichung
> für den punkt B(3/0) ermiiteln...
> da die ableitung y=0,5x ist, wäre dann 0,5 das m!?
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> die geradengleichung des punktes wäre dann :
> y=0,5x-1,5...
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> aber wie bekomme ich raus welcher punkt der parabel am
> nächsten dem punkt B(0/3) ist???
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> ich weiß echt nicht weiter...
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> freue mich über alle hinweise und sage schon mal danke !
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Hallo Pompeius,
also du hast eine Parabel mit der Gleichung [mm] $f(x)=0,25x^2$ [/mm] und willst wissen,
wo sie dem Punkt $B(3/0)$ am nächsten ist. Wenn es um Abstände geht,
ist der Satz des Pythagoras immer eine gute Adresse. Den horizontalen und den vertikalen Abstand
können wir als Katheten des Abstanddreiecks auffassen und die Hypotenuse als Abstand $s$.
Der horizontale Abstand ist $ [mm] \Delta [/mm] x=|3-x|$, der vertikale Abstand $ [mm] \Delta [/mm] y=|0-f(x)|$.
Daraus folgt dann nach Pythagoras [mm] $s^2= \Delta x^2+ \Delta f(x)^2$.
[/mm]
Das ist jetzt die Gleichung mit der du weiterarbeiten kannst.
Als Kontrollergebnis kann ich dir sagen, dass der Abstand minimal wird bei $x=2$.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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Hallo Pompeius
hier ein weiterer Ansatz:
Der Abstand zwischen dem Punkt (3/0) und der Raumsonde soll minimal werden. Gib der Raumsonde doch zuerst mal allgemeine Koordinaten, z.B. [mm] (a/0,25a^{2}) [/mm] - sie liegt ja auf der Parabel.
Die Tangente an die Parabel in diesem Punkt hat dann die Steigung 0,5a.
Der kleinste Abstand zum Punkt (3/0) ist die direkte Verbindung zur Raumsonde, also eine Senkrechte zur Tangente in [mm] (a/0,25a^{2}), [/mm] die durch (3/0) geht.
Diese Senkrechte hat dann die Steigung [mm] -\bruch{2}{a}, [/mm] da bei orthogonalen Geraden das Produkt der Steigungen -1 ergibt.
Jetzt kannst Du die Gleichung der Senkrechten erstmal allgemein aufstellen: [mm] y=-\bruch{2}{a}*x [/mm] + t
Setzt Du den Punkt (3/0) in diese Gleichung ein, erhältst Du [mm] t=\bruch{6}{a} [/mm] und somit [mm] y=-\bruch{2}{a}*x [/mm] + [mm] \bruch{6}{a}.
[/mm]
Wenn Du jetzt noch Deine Raumsonde [mm] (a/0,25a^{2}) [/mm] in die Geradengleichung einsetzt erhältst Du folgende Gleichung:
[mm] 0,25a^{3}+2a-6=0
[/mm]
Nach a aufgelöst (Polynomdivision!) erhältst Du als einzige Lösung a=2.
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