absolute extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | [mm] w=x^2-y^2 [/mm] im kreis [mm] x^2+y^2<=4
[/mm]
bestimme die absoluten extrema |
was ich gemacht habe:
part. abgl.
fx= 2x=0
fy=-2y=0
Einziger Punkt zu untersuchen daher (0,0)
Hessematrix
2 0
0 -2
Det=-4 -> Sattelpunkt
kann ja in die Hessematrix nix einsetzten.
ich bin hier auf dem holzweg, wer kann mir weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Mo 03.08.2009 | | Autor: | fencheltee |
> [mm]w=x^2-y^2[/mm] im kreis [mm]x^2+y^2<=4[/mm]
> bestimme die absoluten extrema
> was ich gemacht habe:
> part. abgl.
die nebenbedingung fehlt doch noch gänzlich?!
>
> fx= 2x=0
> fy=-2y=0
>
> Einziger Punkt zu untersuchen daher (0,0)
>
> Hessematrix
>
> 2 0
> 0 -2
>
> Det=-4 -> Sattelpunkt
>
> kann ja in die Hessematrix nix einsetzten.
>
> ich bin hier auf dem holzweg, wer kann mir weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
achso das ist also mit langrange zu lösen weil ich quasi eine funktion gegeben hab, das probier ich mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mo 03.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie Du schon festgestellt hast, hat f in (0,0) kein Extr.
Die Menge K = { (x,y) [mm] \in \IR^2: x^2+y^2 \le [/mm] 4 } ist kompakt und w ist auf K stetig. Somit ex. [mm] (x_0,y_0) [/mm] und [mm] (x_1,y_1) \in [/mm] K mit
[mm] w(x_0,y_0) [/mm] = maxf(K) und [mm] w(x_1,y_1) [/mm] = min f(K)
Da der Gradient von w auf dem Inneren von K nur im Punkt (0,0) verschwindet und in diesem Punkt kein Extr. vorliegt, gilt:
[mm] (x_0,y_0) [/mm] , [mm] (x_1,y_1) \in \partial [/mm] K .
Für (x,y) [mm] \in \partial [/mm] K ist [mm] y^2 [/mm] = 4 [mm] -x^2, [/mm] also
w(x,y) = [mm] 2x^2-4
[/mm]
Untersuche also f(x) := [mm] 2x^2-4 [/mm] auf Extr. für [mm] x\in [/mm] [-2,2]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
den letzten schritt kapiere ich nicht, klar ist es ist
[mm] y^2=4-x^2
[/mm]
wie kommst du dann auf [mm] f(x,y)=2x^2-4?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mo 03.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist f(x,y) = [mm] x^2-y^2 [/mm] = [mm] x^2-(4-x^2) [/mm] = [mm] 2x^2-4
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
meinst du nicht auf Intervall [mm] [-\wurzel[1]{2}, \wurzel[1]{2}]
[/mm]
soll ich dann etwa [mm] f(x)=2x^2-4 [/mm] untersuchen?
ich kriege da einen extrempunkt in (0,-4) der ein MIN sein sollte
diese art von aufgabe scheint mir neu... was ist diese kreisbedingung eigentlich. warum darf ich die einsetzten. mir scheint es ist eine richtige nebenbedingung , da darf man ja einsetztn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 03.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> meinst du nicht auf Intervall [mm][-\wurzel[1]{2}, \wurzel[1]{2}][/mm]
[mm] \partial [/mm] K = { (x,y) [mm] \in \IR^2: x^2+y^2= [/mm] 4 } ist die kreislinie um (0,0) mit Radius 2. Also : das Intervall [-2,2]
>
> soll ich dann etwa [mm]f(x)=2x^2-4[/mm] untersuchen?
zeichne Dir doch mal diese Parabel im Intervall [-2,2] !!!
In diesem Intervall hat die Parabel ihr Max. im Punkt 2 und -2 und ihr Minimum in 0.
Für die Funktion w(x,y) = [mm] x^2 -y^2 [/mm] auf [mm] \partial [/mm] K bedeutet dies:
max [mm] f(\partial [/mm] K ) = [mm] w(\pm2,0) [/mm] = 4 und min [mm] f(\partial [/mm] K ) = [mm] w(0,\pm2) [/mm] = -4
FRED
>
> ich kriege da einen extrempunkt in (0,-4) der ein MIN sein
> sollte
> diese art von aufgabe scheint mir neu... was ist diese
> kreisbedingung eigentlich. warum darf ich die einsetzten.
> mir scheint es ist eine richtige nebenbedingung , da darf
> man ja einsetztn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
ok mit kreis gezeichnet
wenn ich das x intervall so nehme leuchtet das ein.
aber keiner dieser punkte (deiner extrempunkte) liegt in meinem kreis!
was verstehe ich nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mo 03.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok mit kreis gezeichnet
> wenn ich das x intervall so nehme leuchtet das ein.
>
> aber keiner dieser punkte (deiner extrempunkte) liegt in
> meinem kreis!
> was verstehe ich nicht?
Keine Ahnung ! jedenfalls gilt für
(x,y) [mm] \in [/mm] {(2,0), (-2,0), (0,2), (0,-2) }:
[mm] $x^2+y^2=4$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
also die extremwerte liegen nicht im kreis das finde ich nicht einleuchtend.
und um auf das intervall [-2,2] zu kommen muss ich y=0 setzen weil das oben rauskam, kann man doch kurz dazu sagen?!
zu deiner info in der lösung steht auch was anderes.
ich glaube es sind die schnittpunkte mit dem kreis und das minimun des kreises
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mo 03.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> also die extremwerte liegen nicht im kreis das finde ich
> nicht einleuchtend.
Natürlich liegen die Extremwerte nicht im Kreis ! Aber die Punkte in denen die Extremwerte angenommen werden liegen auf obiger Kreislinie
FRED
>
> und um auf das intervall [-2,2] zu kommen muss ich y=0
> setzen weil das oben rauskam, kann man doch kurz dazu
> sagen?!
>
> zu deiner info in der lösung steht auch was anderes.
> ich glaube es sind die schnittpunkte mit dem kreis und das
> minimun des kreises
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mo 03.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> also die extremwerte liegen nicht im kreis das finde ich
> nicht einleuchtend.
>
> und um auf das intervall [-2,2] zu kommen muss ich y=0
> setzen weil das oben rauskam, kann man doch kurz dazu
> sagen?!
>
> zu deiner info in der lösung steht auch was anderes.
Was steht denn in der Lösung ?
FRED
> ich glaube es sind die schnittpunkte mit dem kreis und das
> minimun des kreises
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
sry falsche lösung. also es geht nicht wirklich um einen kreis sondern nur diese funktion als nebenbedingung danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
oder setzt ich erst x null und dann y null?
als lösung ist für minima (0,2) und (0,-2), nur letzerer ist ja durch die parabel gegeben oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Di 04.08.2009 | | Autor: | fencheltee |
> oder setzt ich erst x null und dann y null?
>
> als lösung ist für minima (0,2) und (0,-2), nur letzerer
> ist ja durch die parabel gegeben oder?
die frage versteh ich nicht ganz, und was ist mit den maxima?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mo 03.08.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]w=x^2-y^2[/mm] im kreis [mm]x^2+y^2<=4[/mm]
> bestimme die absoluten extrema
Hallo,
eine Differenz ist maximal, wenn der Minuend größtmöglich und der Subtrahend kleinstmöglich ist.
[mm] x^2 [/mm] ist hier größtmöglich für [mm] x=\pm2, [/mm] und [mm] y^2 [/mm] ist kleinstmöglich für y=0.
Die absoluten Maxima liegen also in den Punkten (-2|0) und (2|0).
Eine Differenz ist minimal,wenn der Minuend kleinstmöglich und der Subtrahend größtmöglich ist.
Das absolute Minimum liegt also in den Punkten (0|-2) und (0|2) vor.
Gruß Abakus
> was ich gemacht habe:
> part. abgl.
>
> fx= 2x=0
> fy=-2y=0
>
> Einziger Punkt zu untersuchen daher (0,0)
>
> Hessematrix
>
> 2 0
> 0 -2
>
> Det=-4 -> Sattelpunkt
>
> kann ja in die Hessematrix nix einsetzten.
>
> ich bin hier auf dem holzweg, wer kann mir weiterhelfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
interessanter ansatz. wie muss ich mir das mit den differenzen vorstellen? dass es da extrema gibt? ich verstehe an den partiellen ableiteigungen wo beide null sind ist eben ein extremum (oder SP) so wie bei einer variablen.
kannst du deinen ansatz erleutern? der funktioniert immer wenn ich eine nebenbedingung gegegen habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mo 03.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass eine Differenz am groessten ist, wo der Minuend am groessten ist also am meisten abgezogen wird ist doch klar.
genau wie du bei [mm] f(x)=(x-3)^2 [/mm] hoffentlich das minimum nicht mit differenzieren suchst, sondern sofort x=3 hinschreibst.
d.h. auch bei deiner fkt "sieht man das absolute Min und Max sofort. ueberleg einfach mal selbst.
entsprechen kannst du etwa das abs. Max und Min fuer [mm] f(x,y)=x^2+y^2, x,y\le7 [/mm] finden ohne abzuleiten. usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
warscheinlich haltet ihr mich für dumm.
aber ich habe hier keine differenz? wüsste immer noch gerne warum das eine odere andere gleich max oder min bedeutet anschaulich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mo 03.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest [mm] f(x,y)=x^2-y^2 [/mm] in dem Gebiet [mm] x^2+y^2\le4
[/mm]
[mm] x^2-y^2 [/mm] ist am groessten in jedem Gebiet, wenn [mm] x^2 [/mm] den groesst moeglichen Wert annimmt, [mm] y^2 [/mm] den kleinst moeglichen.
der groesste mogliche wert von [mm] x^2 [/mm] ist bei [mm] x=\pm2
[/mm]
der kleinste von [mm] y^2 [/mm] ist bei [mm] y^2=0 [/mm] y=o
also absolute max bei (-2,0) und (+2,0)
der kleinst moegliche wert ist beim kleinst moeglichen [mm] x^2 [/mm] und groesst moeglichen [mm] y^2, [/mm] also absolutes Min bei (0,-2) und (0,+2)
umstaendlich gehts natuerlich auch: 1. rel max und Min im inneren bestimmen. Dann wie fred sagte die fkt auf dem Rand betrachten.
Natuerlich gibt es mehr fkt, die ihr absolutes max auf dem Rand annehmen. schon [mm] f(x)=x^2 [/mm] in [mm] |x|\le2 [/mm] nimmt sein max auf dem Rand an. [mm] f(x)=x^3 |x|\le5 [/mm] nimmt max und Min auf dem Rand an.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Di 04.08.2009 | | Autor: | domerich |
cool eine erklärung die ich verstanden habe :)dankeschön!
also in einfachen funktionen wie eine Differenz kann man das gut sehen. werde mir jetzt mal die summe ansehen, da kann ichs mir net so gut vorstellen außer beide sind null als minimum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Mo 03.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo
> Dass eine Differenz am groessten ist, wo der Minuend am
> groessten ist also am meisten abgezogen wird ist doch
> klar.
> genau wie du bei [mm]f(x)=(x-3)^2[/mm] hoffentlich das minimum
> nicht mit differenzieren suchst, sondern sofort x=3
> hinschreibst.
> d.h. auch bei deiner fkt "sieht man das absolute Min und
> Max sofort. ueberleg einfach mal selbst.
> entsprechen kannst du etwa das abs. Max und Min fuer
> [mm]f(x,y)=x^2+y^2, x,y\le7[/mm] finden ohne abzuleiten. usw.
> Gruss leduart
Hallo Leduart,
natürlich wurde die Aufgabe gestellt, um bestimmte neu eingeführte Verfahren zu üben.
Diese Verfahren funktionieren auch dann noch, wenn ich die Lösung in schwierigeren Aufgaben nicht mehr so einfach sehen kann. Immerhin kann man aber anhand einer auf recht trivialen Wege gefundenen Lösung testen, ob man das aufwändigere Verfahren beherrscht (weil man ja nun weiß, was rauskommen muss). Mehr wollte ich nicht.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Di 04.08.2009 | | Autor: | domerich |
also zu [mm] f=x^2+y^2 [/mm] mit x,y <=7 hab ich mir folgendes überlegt.
es ist ja keine differenz also wird es mininmal wenn beide kleinstmöglist sind und das ist für 0 der fall, da es quadrate sind und es nie negativ werden kann.
die maxima liegen dann bei (7,7) und (-7,-7) weils da halt maximal werden kann für den wertebereich?
stimmt da irgendwas?
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Hallo domerich,
> also zu [mm]f=x^2+y^2[/mm] mit x,y <=7 hab ich mir folgendes
> überlegt.
> es ist ja keine differenz also wird es mininmal wenn beide
> kleinstmöglist sind und das ist für 0 der fall, da es
> quadrate sind und es nie negativ werden kann. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> die maxima liegen dann bei (7,7) und (-7,-7) weils da halt
> maximal werden kann für den wertebereich?
Nee, was ist zB. mit $x=-1234$ und $y=3$ ?
Die Funktion hat kein Maximum, denn das Ding strebt für [mm] $x,y\to-\infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$
[/mm]
>
> stimmt da irgendwas?
Der erste Teil 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:46 Di 04.08.2009 | | Autor: | domerich |
aber ich habe doch gegeben x,y <=7, was doch eine NB ist? das wäre ja die extrema aufm rand? ich sehe das als ein viereckt im ersten quadrant, und negativ dürfen sie auch werden
also
7,7
-7,7
-7,-7
7,-7
würde ich sagen sind maxima (relative halt im DEF)
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Hallo nochmal,
> aber ich habe doch gegeben x,y <=7, was doch eine NB ist?
Wo denn? Das ist doch bloß ne Einschränkung des Def.bereiches
[mm] $-\infty [/mm] \ < \ x,y \ [mm] \le [/mm] 7$
> das wäre ja die extrema aufm rand?
Auf dem Rand welchen Gebietes denn?
Die Funktion ist definiert auf einem nach oben und rechts durch x=y=7 begrenzten, nach unten und links aber unbegrenzten Rechtecks (wenn man das so salopp sagen kann)
> ich sehe das als ein
> viereckt im ersten quadrant, und negativ dürfen sie auch
> werden
Ich nicht ...
>
> also
> 7,7
> -7,7
> -7,-7
> 7,-7
>
> würde ich sagen sind maxima (relative halt im DEF)
Nein, siehe meinen Einwand oben
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 04.08.2009 | | Autor: | domerich |
aber man muss doch immer nach extrema aufm rand schauen, und der rand ist doch genau der rand des definitionsbereichs?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Di 04.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hier enthaelt der rand [mm] \infty, [/mm] und da wird f beliebig gross . man hat dann kein Max, da die fkt unbeschraenkt ist.(ein max annehmen muss ne fkt nur auf ner kompakten Menge) Fuer das endliche Gebiet [mm] |x|,|y|\le [/mm] 7 haettest du aber recht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Di 04.08.2009 | | Autor: | domerich |
jetzt hab ichs kapiert danke ^^
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