(absolute) Konvergenz Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Di 22.04.2014 | | Autor: | Sam90 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz
1. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n(\bruch{7}{10}+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
2. [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{i=1}^{k}\bruch{1}{i})^{-1}
[/mm]
3. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n-\wurzel{n}}) [/mm] |
Hallo! Kann mir hier eventuell jemand helfen, die Aufgabe zu lösen? Was Konvergenz ist, weiß ich, aber ich hab keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll, welche Konvergenzkriterien ich wählen soll, etc... Ich wäre echt dankbar!!
LG Sam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Di 22.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Sam,
> Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz und absolute
> Konvergenz
>
> 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n(\bruch{7}{10}+\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> 2.
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{i=1}^{k}\bruch{1}{i})^{-1}[/mm]
>
> 3.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n-\wurzel{n}})[/mm]
> Hallo! Kann mir hier eventuell jemand helfen, die Aufgabe
> zu lösen? Was Konvergenz ist, weiß ich, aber ich hab
> keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll,
> welche Konvergenzkriterien ich wählen soll, etc... Ich
> wäre echt dankbar!!
Probiere doch mal selbst ein paar Konvergenzkriterien aus.
Damit lernst du auch den Umgang damit und vor Allem die
Folgerungen! Ich will dich damit wirklich nicht ärgern,
aber einen Tipp bekommst du erst dann, wenn du auch eigene
Lösungsvorschläge gemacht hast und diese dich nicht zum
Ziel führen. Ansonsten kannst du natürlich Fragen zu den
Konvergenzkriterien stellen.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mi 23.04.2014 | | Autor: | Sam90 |
Hallo DieAcht,
dann versuch ichs mal:
1. Mit Wurzelkriterium: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}, a_{n}= n(\bruch{7}{10}+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel[n]{a_{n}}=\wurzel[n]{n}*(\bruch{7}{10}+\bruch{1}{n})\to \bruch{7}{10}<1 [/mm] also absolut konvergent
2. Leider gar keine Idee, wie man das machen könnte...
3. Notwendige Konvergenzbedingung: Ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergent, so gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] =0.
Dies gilt hier nicht, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] (\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n-\wurzel{n}}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n-\wurzel{n}})(\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n-\wurzel{n}})}{(\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n-\wurzel{n}})} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2\wurzel{n}}{(\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n-\wurzel{n}})} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}+\wurzel{1-\bruch{1}{\wurzel{n}}}}}=1 [/mm] und somit keine Nullfolge
Ist das bisher so okay?
Grüße Sam
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mi 23.04.2014 | | Autor: | Sam90 |
> Hallo Sam,
>
> > 2. Leider gar keine Idee, wie man das machen könnte...
>
> Schreib dir ein paar Glieder der Reihe auf. Was fällt dir
> auf?
>
> Tipp: Die Reihe divergiert.
>
Ok, ich glaube ich habe verstanden, dass sie divergiert, aber ich weiß nicht, wie ich das vernünftig aufschreiben kann. Ich hab mal Folgendes berechnet:
Das hier [mm] (\summe_{i=1}^{k}\bruch{1}{i})^{-1} [/mm] ist ja die harmonische Reihe (zwar Nullfolge, aber divergent), die durch das "hoch -1" in den Nenner gerät, also quasi [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+...}. [/mm] Dann gibt es aber noch eine weitere Summe, die das k bestimmt, also hätte man (hoffe ich):
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{i=1}^{k}\bruch{1}{i})^{-1}= 1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}}+\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}}+...
[/mm]
Diese Reihe wird unendlich groß und divergiert somit.
Kann das sein oder liege ich völlig daneben?
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}+\wurzel{1-\bruch{1}{\wurzel{n}}}}}=1[/mm]
>
> Bei der Eingabe der Wurzel ist etwas schief gelaufen, aber
> ich bin mir sicher, dass du das Richtige meinst.
Ja stimmt da muss stehen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}+\wurzel{1-\bruch{1}{\wurzel{n}}}}=1
[/mm]
>
> > und somit keine Nullfolge
>
> Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Ist das bisher so okay?
>
> Ja. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
Danke schon mal :)
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mi 23.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Sam,
> >
> > > 2. Leider gar keine Idee, wie man das machen könnte...
> >
> > Schreib dir ein paar Glieder der Reihe auf. Was fällt dir
> > auf?
> >
> > Tipp: Die Reihe divergiert.
> >
> Ok, ich glaube ich habe verstanden, dass sie divergiert,
> aber ich weiß nicht, wie ich das vernünftig aufschreiben
> kann. Ich hab mal Folgendes berechnet:
>
> Das hier [mm](\summe_{i=1}^{k}\bruch{1}{i})^{-1}[/mm] ist ja die
> harmonische Reihe (zwar Nullfolge, aber divergent), die
> durch das "hoch -1" in den Nenner gerät, also quasi
> [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+...}.[/mm] Dann gibt es
> aber noch eine weitere Summe, die das k bestimmt, also
> hätte man (hoffe ich):
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{i=1}^{k}\bruch{1}{i})^{-1}= 1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}}+\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}}+...[/mm]
>
> Diese Reihe wird unendlich groß und divergiert somit.
Das ist doch "wischi-waschi" !
Wir setzen [mm] a_k:=(\summe_{i=1}^{k}\bruch{1}{i})^{-1}
[/mm]
Wegen [mm] \summe_{i=1}^{k}\bruch{1}{i} \le [/mm] k für k [mm] \in \IN [/mm] ist
[mm] a_k \ge \bruch{1}{k}
[/mm]
FRED
>
> Kann das sein oder liege ich völlig daneben?
>
>
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}+\wurzel{1-\bruch{1}{\wurzel{n}}}}}=1[/mm]
> >
> > Bei der Eingabe der Wurzel ist etwas schief gelaufen, aber
> > ich bin mir sicher, dass du das Richtige meinst.
>
> Ja stimmt da muss stehen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}+\wurzel{1-\bruch{1}{\wurzel{n}}}}=1[/mm]
> >
> > > und somit keine Nullfolge
> >
> > Ja.
> >
> > > Ist das bisher so okay?
> >
> > Ja.
> >
>
> Danke schon mal :)
> Grüße
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