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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 So 15.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Gegeben [mm] \nu_i , \mu_i [/mm] i= 1,2 , und [mm] \mu [/mm] [mm] \sigma [/mm] - endliche Maße auf einem Messraum [mm] ( \Omega, \mathcal A ) [/mm].
a) Sei [mm]\nu_1 \ll \mu_1 [/mm] Dann gilt:[mm] \mu_1 \ll \nu_1 \Leftrightarrow \mu_1 ( \{ \bruch{d\nu_1 }{d\mu_1} = 0 \}) = 0 [/mm] |
Guten Abend alle zusammen!
Ich habe Fragen zu der folgenden Lösung dieser Aufgabe:
" [mm] \Rightarrow [/mm] " :
Sei [mm] \mu_1 \ll \nu_1 [/mm] Dann gilt
[mm] \nu_1 (A) = \integral_A \bruch{d\nu_1}{d\mu_1} d\mu_1 [/mm]
Gilt dies wegen Radon-Nikodym? Und wie komme man auf das [mm]\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} d\mu_1 [/mm] im Integral?
[mm]\nu_1 ( \{ \bruch{d\nu_1}{d\mu_1} = 0 \} ) = \integral 1_{ \{\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} = 0 \}} \bruch{d\nu_1}{d\mu_1} d\mu_1 = \integral 0 d\mu_1 = 0 [/mm]
Warum genau ist der Ausdruck [mm]1_{ \{\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} = 0 \}} \bruch{d\nu_1}{d\mu_1} [/mm] Null auf der Menge [mm] \{\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} = 0 \} [/mm] ?
[mm] \Rightarrow \mu_1 ( \{ {\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} = 0 \} ) = 0 [/mm] wegen [mm]\nu_1 \ll \mu_1 [/mm].
" [mm] \Leftarrow [/mm]:
Im Folgenden gelte:
[mm] \mu_1 ( \{ {\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} = 0 \} ) = 0 [/mm]
Zu zeigen: [mm] A \in \mathcal A [/mm], dann gilt [mm] \nu_1 [/mm] (A) = 0 [mm] \Leftarrow \mu_1 [/mm] (A) = 0 [/mm]
Sei [mm] A \in \mathcal A [/mm] mit
[mm] \nu_1 (A) = \integral_A {\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} d\mu_1 =
\integral_{A \cap \{ \bruch{d\nu_1}{d\mu_1} > 0 \} } {\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} d\mu_1 = 0 [/mm]
Wie kommt man auf die Menge [mm] A\cap \{ {\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} > 0 \} [/mm] unter dem Integral und warum ist es Null ?
[mm] \Rightarrow \mu_1 ( A\cap \{ {\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} > 0 \} ) = 0 [/mm]
[mm] \mu_1 (A) = \mu_1( A\cap \{ {\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} = 0 \} ) + \mu_1 ( A\cap \{ {\bruch{d\nu_1}{d\mu_1} > 0 \} ) [/mm]
[mm] \mu_1(A) = 0 [/mm]
Sehe ich das richitg, dass hier viel aus dem ersten Teil der Lösung benutzt wird?
Vielen Dank für die Hilfe im voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mo 16.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
1. genau wegen radon nikodym. wie man konkret auf eine radon nikodym dichte kommt ist für dieses aufgabe nicht wichtig, aber hier ein beispiel:
[mm]\mu = \lambda[/mm] das eindimensionale Lebesgue-Maß
[mm]\bruch{d\nu}{ d\mu} = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{x^2}{2}}=\phi(x)[/mm] die Radon Nikodym Lebesgue Dichte zum Maß:
[mm]\nu(A) = \integral_A \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{x^2}{2}}dx= \Phi(A)[/mm]
2. überall da wo deine Indikatorfunktion nicht null sondern 1 ist, ist der Bruch null, also immer null.
3. du wählst doch extra ein A für dass gilt [mm] \nu(A) [/mm] = 0 denn du willst ja zeigen [mm] \nu(A)=0 [/mm] folgt [mm] \mu(A) [/mm] = 0
4. aus dem ersten teil der lösung wird da gar nichts benutzt was genau ist dir denn nicht klar?
gruß
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