absolut K. => bedingt konv. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mi 06.11.2013 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige: Sei [mm] $(x_n) \in [/mm] B$, B Banachraum und es gelte [mm] $\sum_n ||x_n||_B<\infty$ [/mm] und $s= [mm] \lim_{K \to \infty} \sum_{n=1}^{K} x_n,$ [/mm] dann konvergiert auch jede umgeordnete Reihe gegen $s,$ d.h. für jede Permutation [mm] $\pi$ [/mm] gilt $s= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} x_{\pi(k)} [/mm] $ |
Mein Problem ist, dass ich mir schwer tu den Prozess der Umordnung abstarkt-formal aufzuschreiben.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir einer von euch erklären könnte, wie man so etwas macht. 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Do 07.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Vorausgesetzt ist also die Kovergenz von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}||x_n||
[/mm]
(das ist eine Reihe nichtnegativer Zahlen). Aus der Analysis I wissen wir, dass dann auch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}||x_{\pi(n)}||
[/mm]
konvergiert.
Da B ein Banachraum ist, folgt die Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}x_{\pi(n)}
[/mm]
in B. Jetzt ist noch zu zeigen, dass der Reihenwert von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}x_{\pi(n)} [/mm] ebenfalls = $s$ ist.
Da zeigt man aber (fast) wörtlich wie in der Analysis I für absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. In dem Beweis dort musst Du nur die Betragsstriche durch Normstriche ersetzen.
FRED
|
|
|
|
