abs Konvergenz alternierend < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 So 20.04.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Gegen sei:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-3)^n}{2^n * n^3}
[/mm]
Untersuchen Sie die Reihe auf konvergenz und absolute konvergenz.
|
Also es ist ja eine alternierende Reihe.
Mit Leibniz konvergenzkrit. kann man die konvergenz sicher stellen.
Das ist soweit auch gelungen, jedoch sagt dieses Leibniz kriterium nichts über die Absolute konvergenz aus.
also muss man diese Reihe nochmal in betrags-darstellung untersuchen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \vmat{ \bruch{(-3)^n}{2^n * n^3} } [/mm] => [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n}{2^n * n^3} [/mm] bzw. [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3^n}{2^n } [/mm] * [mm] \bruch{1}{ n^3} [/mm] ) => (?) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n}{2^n }* \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{ n^3} [/mm]
ist die zerlegung soweit richtig ?
dann habe ich sozusagen 2 Reihen zu untersuchen:
1: [mm] \underbrace{ \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{ n^3} }_{konvergent} [/mm] da potenz von n, größer 2 ist (Harmonische Reihe)
2: [mm] \underbrace{\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n}{2^n } }_{divergent} [/mm] da Zähler "schneller wächst" als Nenner
nad am schlus habe ich eine divergente * konvergente = divergent ???
ist die überlegung soweit ok oder hab ich was falsch gemacht?
mfg
masa-ru
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 So 20.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
versuche es einmal mit dem Quotientenkriterium (vorausgesetzt ihr hatte das Kriterium schon in der VL).
Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] a_n\not=0 [/mm] für alle [mm] n\ge{n_0} [/mm] konvergiert absolut, wenn es eine reelle Zahl [mm] \alpha [/mm] mit [mm] 0<\alpha<1 [/mm] gibt, so dass [mm] \vmat{ \bruch{a_{n+1}}{a_n} }\le\alpha [/mm] für alle [mm] n\ge{n_0}.
[/mm]
In deinem Fall:
[mm] a_n=\bruch{(-3)^n}{2^n \cdot{} n^3} [/mm] .
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 So 20.04.2008 | | Autor: | masa-ru |
hey barsch,
danke für den tipp mit dem Quotienten, habe ich ganz vergessen  .
Also die reihe ist divergent da
das [mm] $\alpha [/mm] >1$ ist [mm] ($\alpha [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm] ).
mfg
masa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 So 20.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> hey barsch,
>
> danke für den tipp mit dem Quotienten, habe ich ganz
> vergessen .
> Also die reihe ist absolut konvergent.
>
> da hier das [mm]\alpha = \bruch{3}{2}[/mm] ist.
[mm] \red{Falsch!}
[/mm]
Nach Definition muss [mm] \alpha<1 [/mm] sein. Aber: [mm] \alpha =\bruch{3}{2}>1.
[/mm]
Lieber noch einmal nachrechnen!
MfG barsch
|
|
|
|
