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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Do 18.09.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] f(y):=\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{y^{2n+1}}{n!}
[/mm]
a) beweise, dass f(y) wohldefiniert ist
b) berechne [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{y^{2n+1}}{n!} ) dy} [/mm] |
HAllo,
ich habe die Lösung zu dieser Aufgabe, aber ich verstehe einzelne schritte nicht. Vielleicht kann mir ja da jm helfen. Wäre toll!
zua)
---------
Wenn ich diese Aufgabe in einer Klausur sehen würde, wüsste ich nicht was ich zeigen müsste um wohldefiniertheit zu zeigen. Was genau soll ich denn hier machen.
Der Anfang der Lösung ist dieser hier:
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] a_{2n} [/mm] =0
[mm] a_{2n+1}= \bruch{1}{n!}
[/mm]
Dann [mm] ist\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{y^{2n+1}}{n!}=\sum_{k=2}^{\infty} a_{k} y^{k}
[/mm]
------
Das "=" in der letzten Zeile verstehe ich nicht, wenn ich 1 links für n einsetze und und 2 für k rechts steht da doch links [mm] y^{3} [/mm] und rechts [mm] y^{2}
[/mm]
IRgendwas stimmt da doch nicht, oder?
zub)
-----------
[mm] f_{N} \to [/mm] f gleichmäßig auf dem geschlossenen intervall zw 0 und 1
Also:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{y^{2n+1}}{n!} ) dy}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1} [/mm] f(y) dy
= [mm] \integral_{0}^{1}\limes_{N \to \infty} f_{N}(y)dy
[/mm]
woher kommt der limes?
= [mm] \limes_{N \to \infty} \integral_{0}^{1} \sum_{n=1}^{N} {\bruch{y^{2n+1}}{n!} ) dy} [/mm]
wie kommt man zu:
[mm] =\limes_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \bruch{y^{2n+1}}{(2n+1)n!} |_{0}^{1} [/mm] bzw ( wie leitet man eine Summe auf, bzw "n!" ?)
wie kommt man zu
[mm] =\limes_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \bruch{1}{(2n+2)n!} [/mm] ) dy
=... (den Rest habe ich verstanden :)
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> [mm]f(y):=\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{y^{2n+1}}{n!}[/mm]
>
> a) beweise, dass f(y) wohldefiniert ist
> b) berechne [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{y^{2n+1}}{n!} ) dy}[/mm]
>
> HAllo,
>
> ich habe die Lösung zu dieser Aufgabe, aber ich verstehe
> einzelne schritte nicht. Vielleicht kann mir ja da jm
> helfen. Wäre toll!
>
> zua)
> ---------
> Wenn ich diese Aufgabe in einer Klausur sehen würde,
> wüsste ich nicht was ich zeigen müsste um wohldefiniertheit
> zu zeigen. Was genau soll ich denn hier machen.
Hallo,
das Problem: wird ganz sicher jedem y ein Funktionswert zugewiesen?
Was wäre denn, wenn die Reihe nicht für jedes y konvergieren würde?
Dann wäre die Funktionsvorschrift völlig wertlos, weil man nicht wüßte, was man tun soll.
es ist also zu zeigen, daß die reihe für jedes y konvergiert.
>
> Der Anfang der Lösung ist dieser hier:
> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]a_{2n}[/mm] =0
> [mm]a_{2n+1}= \bruch{1}{n!}[/mm]
>
> Dann [mm]ist\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{y^{2n+1}}{n!}=\sum_{k=2}^{\infty} a_{k} y^{k}[/mm]
>
> ------
> Das "=" in der letzten Zeile verstehe ich nicht,
Es ist
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{y^{2n+1}}{n!}=\bruch{y^{2*1+1}}{1!}+ \bruch{y^{2*2+1}}{2!}+\bruch{y^{2*3+1}}{3!}+...=\bruch{y^3}{1!}+ \bruch{y^{5}}{2!}+\bruch{y^{7}}{3!}+...
[/mm]
und
[mm] \sum_{k=2}^{\infty} a_{k} y^{k}=a_{2} y^{2}+a_{3} y^{3}+a_{4} y^{4}+a_{5} y^{5}+a_{6} y^{6}+a_{7} y^{7}+... =0*y^{2}+\bruch{1}{1!} y^{3}+0* y^{4}+\bruch{1}{3!} y^{5}+0* y^{6}+\bruch{1}{3!}y^{7}+... [/mm]
(Schau Dir hierzu die def. der geraden und ungeraden Folgenglieder [mm] a_k [/mm] an.)
Gruß v. Angela
wenn ich
> 1 links für n einsetze und und 2 für k rechts steht da doch
> links [mm]y^{3}[/mm] und rechts [mm]y^{2}[/mm]
> IRgendwas stimmt da doch nicht, oder?
>
> zub)
> -----------
> [mm]f_{N} \to[/mm] f gleichmäßig auf dem geschlossenen intervall zw
> 0 und 1
> Also:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{y^{2n+1}}{n!} ) dy}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}[/mm] f(y) dy
> = [mm]\integral_{0}^{1}\limes_{N \to \infty} f_{N}(y)dy[/mm]
>
> woher kommt der limes?
> = [mm]\limes_{N \to \infty} \integral_{0}^{1} \sum_{n=1}^{N} {\bruch{y^{2n+1}}{n!} ) dy}[/mm]
>
> wie kommt man zu:
>
> [mm]=\limes_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \bruch{y^{2n+1}}{(2n+1)n!} |_{0}^{1}[/mm]
> bzw ( wie leitet man eine Summe auf, bzw "n!" ?)
>
> wie kommt man zu
> [mm]=\limes_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \bruch{1}{(2n+2)n!}[/mm]
> ) dy
>
> =... (den Rest habe ich verstanden :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Do 18.09.2008 | | Autor: | Kreide |
HAllo
> das Problem: wird ganz sicher jedem y ein Funktionswert
> zugewiesen?
f(y) soll in dem Intervall 0,1 wohldefiniert sein
> (Schau Dir hierzu die def. der geraden und ungeraden
> Folgenglieder [mm]a_k[/mm] an.)
oh jetzt hab ich das mit dem k und dem 2n und 2n+1 verstanden! hatte da irgendwie ein brett vorm kopf . Danke für's helfen!!!!!
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> [mm]f(y):=\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{y^{2n+1}}{n!}[/mm]
>
> b) berechne [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{y^{2n+1}}{n!} ) dy}[/mm]
Hallo,
bist Du Dir sicher, daß die Aufgabenstellung hier korrekt wiedergegeben ist?
> -----------
> [mm]f_{N} \to[/mm] f gleichmäßig auf dem geschlossenen intervall zw
> 0 und 1 [...]
> = [mm]\integral_{0}^{1}\limes_{N \to \infty} f_{N}(y)dy[/mm]
>
> woher kommt der limes?
> = [mm]\limes_{N \to \infty} \integral_{0}^{1} \sum_{n=1}^{N} {\bruch{y^{2n+1}}{n!} ) dy}[/mm]
Der kommt wohl, weil oben steht, daß f gerade die Grenzfunktion von [mm] f_N [/mm] ist.
>
> wie kommt man zu:
>
> [mm]=\limes_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \bruch{y^{2n+1}}{(2n+1)n!} |_{0}^{1}[/mm]
> bzw ( wie leitet man eine Summe auf, bzw "n!" ?)
Aufleiten tun wir gar nicht, wir suchen Stammfunktionen...
Das n ist doch eine Konstante, die Integrationsvariable ist doch y.
Endliche Summen integriert man summandenweise.
Man kommt da gar nicht zu. Das müßte [mm] ...=\limes_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \bruch{y^{2n+\red{2}}}{(2n+\red{2})n!} |_{0}^{1} [/mm] heißen.
> wie kommt man zu
> [mm]=\limes_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \bruch{1}{(2n+2)n!}[/mm] ) dy
Wo steht sowas? Ich versteh's nicht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Do 18.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Man sollte auch mal erwähnen, dass man den Limes nur deshalb vor das Integral ziehen darf, weil [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig gegen $f$ konvergiert...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 18.09.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo Robert,
gilt dies nur für gleichmäßige Konvergenz oder auch für punktweise Konvergenz?
Gruß kreide
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Do 18.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> gilt dies nur für gleichmäßige Konvergenz oder auch für
> punktweise Konvergenz?
Es gilt i.A. nur für gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen, aber die sind natürlich auch punktweise konvergent.
Gruß, Robert.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 18.09.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo nochmal 
> > b) berechne [mm]\integral_{0}^{1}( \sum_{n=1}^{\infty}{\bruch{y^{2n+1}}{n!} ) dy}[/mm]
>
> Hallo,
>
> bist Du Dir sicher, daß die Aufgabenstellung hier korrekt
> wiedergegeben ist?
nein, sorry, hab das summenzeichen vergessen... hab's in diesem eintrag jetzt korrigiert
>
> > -----------
> > [mm]f_{N} \to[/mm] f gleichmäßig auf dem geschlossenen intervall
> zw
> > 0 und 1 [...]
>
> > = [mm]\integral_{0}^{1}\limes_{N \to \infty} f_{N}(y)dy[/mm]
> >
> > woher kommt der limes?
> > = [mm]\limes_{N \to \infty} \integral_{0}^{1} \sum_{n=1}^{N} {\bruch{y^{2n+1}}{n!} ) dy}[/mm]
>
> Der kommt wohl, weil oben steht, daß f gerade die
> Grenzfunktion von [mm]f_N[/mm] ist.
oh, ja klar.dumme frage.
> >
> > wie kommt man zu:
> >
> > [mm]=\limes_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \bruch{y^{2n+1}}{(2n+1)n!} |_{0}^{1}[/mm]
> > bzw ( wie leitet man eine Summe auf, bzw "n!" ?)
>
> Aufleiten tun wir gar nicht, wir suchen
> Stammfunktionen...
>
ist das nicht dasselbe? ich sehe da gerade irgendwie keinen Unterschied drinne.
> Das n ist doch eine Konstante, die Integrationsvariable ist
> doch y.
>
man! gut das du das sagst!!! Logisch! Ich hatte mich deswegen voll verhedert.. 
> Endliche Summen integriert man summandenweise.
>
> Man kommt da gar nicht zu. Das müßte [mm]...=\limes_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \bruch{y^{2n+\red{2}}}{(2n+\red{2})n!} |_{0}^{1}[/mm]
> heißen.
ja stimmt! mein fehler
>
>
> > wie kommt man zu
> > [mm]=\limes_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \bruch{1}{(2n+2)n!}[/mm]
> ) dy
>
> Wo steht sowas? Ich versteh's nicht.
>
Das steht in meiner musterlösung
hab's jetzt aber verstanden, ich habe die Integralgrenzen 1 und die 0 immer für n eingesetzt, aber y ist ja die Integrationsvariable !!!!!!
Vielen Dank nochmal, deine kommentare haben mich wirklich weiter gebracht!!
Gruß kreide
PS:
Nur mal eine reine Frage aus Neugier, was wäre denn die Ableitung von "x!" , wenn x die Integrationsvaribale wäre?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Do 18.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> > Aufleiten tun wir gar nicht, wir suchen
> > Stammfunktionen...
> >
> ist das nicht dasselbe? ich sehe da gerade irgendwie keinen
> Unterschied drinne.
"Aufleiten" ist kein hübsches Wort.
> Nur mal eine reine Frage aus Neugier, was wäre denn die
> Ableitung von "x!" , wenn x die Integrationsvaribale wäre?
Die Fakultät ist ja erstmal nur für natürliche Zahlen definiert, und da gibt es keinen sinnvollen Ableititungsbegriff, weil man keinen vernünftigen Grenzwertbegriff hat.
Man kann die Fakultät jedoch auf die reellen und komplexen Zahlen fortsetzen, dann hat man die ![[]](/images/popup.gif) Gamma-Funktion. Die ist überall außer in den nichtpositiven ganzen Zahlen (komplex) differenzierbar.
Gruß, Robert
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