ableitung, symmetrische matrix < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Di 07.06.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe, bei der ich keine Ahnung habe:
Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f:\IR^{n}\to\IR, f(x)=\bruch{1}{2}(Ax,x)-(b,x) [/mm] für eine symmetrische Matrix [mm] A\in\IR^{n,n} [/mm] die Ableitung Df(x)=(Ax-b,*) besitzt.
Danke für eure Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Di 07.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es gilt:
$f(x)= [mm] \frac{1}{2} \langle x,Ax\rangle [/mm] - [mm] \langle [/mm] b,x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}x_ixj [/mm] - [mm] \sum\limits_{i=1}^n b_ix_i [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}x_i^2 [/mm] + [mm] \sum\limits_{{j=1} \atop {j \ne i}} a_{ij}x_ix_j [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^nb_i$,
[/mm]
also:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x) [/mm] = [mm] a_{ii}x_i [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \sum\limits_{{j=1} \atop {j \ne i}}^na_{ij}x_j [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\sum\limits_{{j=1} \atop {j \ne i}}^n a_{ji} x_j [/mm] - [mm] b_i$,
[/mm]
und dies ist wegen der Symmetrie von $f$ gleich:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x) =a_{ii}x_i [/mm] + [mm] \sum\limits_{{j=1} \atop {j \ne i}}^n a_{ij} x_j [/mm] - [mm] b_i [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j [/mm] - [mm] b_i$.
[/mm]
Dies ist die $i$-te Komponente des Vektors $Ax-b$.
Daher gilt für $y [mm] \in \IR^n$:
[/mm]
$[Df(x)](y) = [mm] \langle [/mm] (grad [mm] \, [/mm] f(x)) , y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle Ax-y,y\rangle$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
