abgeschlossene Teilmenge < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: ist due abbildung f: X -> Y stetig, so ist ihr Graph G(f)={x, f(x), [mm] x\in [/mm] X} eine abgeschlossene Teilmenge von X x Y. Beweisen Sie weiterhin, dass im Fall eines kompakten Raumes Y die Umkehrung gilt! Geben Sie letztlich ein Beispiel dafür an, dass die Umkehrung i.A. nicht gilt! |
Hallo,
ic hoffe jemand kann mir bei dieser Afgabe helfen. leider weiß ich nicht wie ih sie anpacken soll...
Danke und Grüße,
ben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Bitte , bitte weihe uns doch ein, was für Mengen X und Y sind: sind das allgemeine topologische Räume, oder metrische Räume oder ...........
Der Aufwand für die Lösung und die Argumentationen hängen davob ab
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 09.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
das kann ich dir nicht genau sagen, da es nicht in der Aufgabe steht, aber ich würde sagen, es soll sich um einen metrischen Raum handeln soll...
Topologische Räume hatten wir (habe ich noch nicht im Skript gefunden) denke ich noch nicht.
Grüße, Ben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Do 09.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hast du dir schon irgendwelche Gedanken dazu gemacht.
Welche Stetigkeitsdefinitionen kennst du?
Also: Versuch mal, beide Richtungen zu zeigen.
1) f ist stetig [mm] \Rightarrow [/mm] G(f) ist eine Abgeschlossene Teilmenge von X [mm] \times [/mm] Y
und 2)
G(f) ist abgeschlossen auf X [mm] \times [/mm] Y, mit kompaktem Y. [mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig
Was heisst das? Schau mal die Definitionen von Abgeschlossen und Kompakt an.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Do 09.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
Also ich muss nun benutzen, dass.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) existiertund gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x)=f(x_0). [/mm]
Aber dann muss ich zeigen, das daraus folgt, dass M in (X,d) abgeschlossen ist <=> alle GW aller kvgt Folgen in X in M enthalten sind.
Aber wie soll ich das anstellen? Für mich sind das leider zwei Dinge die ich nicht zusammen bringen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist Dir klar, welche Metrik auf XxY def. ist ? Und was Konvergenz im Raum XxY bedeutet ?
Mach Dir das erst mal klar, bevor Du weiterliest.
Ein Anfang:
Sei [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine konvergente Folge in G(f) und [mm] (x_0,y_0) [/mm] deren Limes
Zu zeigen: [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] G(f)
Es ist [mm] y_n [/mm] = [mm] f(x_n) [/mm] für jedes n.
Weiter gilt : [mm] x_n \to x_0 [/mm] und [mm] y_n =f(x_n) \to y_0
[/mm]
Wie kommt nun die Stetigkeit von f ins Spiel ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Do 09.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
> Ist Dir klar, welche Metrik auf XxY def. ist ? Und was
> Konvergenz im Raum XxY bedeutet ?
Hi,
also die Metrik ist klar. Was die kvgz im Raum XxY angeht, ist das nicht einfach so, dass das Tupel gegen [mm] (x_0,y_0) [/mm] konvergiert?!
> Ein Anfang:
>
>
> Sei [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine konvergente Folge in G(f) und
> [mm](x_0,y_0)[/mm] deren Limes
>
> Zu zeigen: [mm](x_0,y_0) \in[/mm] G(f)
>
> Es ist [mm]y_n[/mm] = [mm]f(x_n)[/mm] für jedes n.
>
> Weiter gilt : [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]y_n =f(x_n) \to y_0[/mm]
>
> Wie kommt nun die Stetigkeit von f ins Spiel ?
Wenn ich ehrlich bin hätte ich gedacht, das du mit:
> Weiter gilt : [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]y_n =f(x_n) \to y_0[/mm]
schon die stetigkeit von f ins spiel gebracht hast... denn mit dem Folgenkriterium folgt ja für [mm] x_n->x_0, [/mm] dass ebenfalls gilt [mm] y_n=f(x_n)->f(x_0)=y_0. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Do 09.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
Danke für deine Hilfe Fred, ich habe es jetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Do 09.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ist Dir klar, welche Metrik auf XxY def. ist ? Und was
> > Konvergenz im Raum XxY bedeutet ?
>
> Hi,
> also die Metrik ist klar. Was die kvgz im Raum XxY angeht,
> ist das nicht einfach so, dass das Tupel gegen [mm](x_0,y_0)[/mm]
> konvergiert?!
die Definition der Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum hängt davon ab, mit welcher Metrik der Raum ausgestattet ist. Deswegen macht dieser Satz so erstmal keinen Sinn. Du meinst vll., dass das Konvergenzverhalten einer Folge [mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] in $X [mm] \times [/mm] Y$ mithilfe des Konvergenzverhaltens der Folge [mm] $(x_n)_n$, [/mm] im metrischen Raum [mm] $(X,d_X)$, [/mm] und des Konvergenzverhaltens der Folge [mm] $(y_n)_n$, [/mm] im metrischen Raum [mm] $(Y,d_Y)$, [/mm] charakterisiert werden kann.
Irgendwie ist es naheliegend, zu sagen:
Für metrische Räume [mm] $(X,d_X)$ [/mm] und [mm] $(Y,d_Y)$ [/mm] definieren wir auf $X [mm] \times [/mm] Y$ die Funktion
[mm] $$d:=d_{X \times Y}: [/mm] (X [mm] \times [/mm] Y) [mm] \times [/mm] (X [mm] \times [/mm] Y) [mm] \to \IR$$
[/mm]
durch
[mm] $$d((x,y),(\tilde{x},\tilde{y})):=d_X(x,\tilde{x})+d_Y(y,\tilde{y})\;\;\;\text{ für alle } (x,y),\,(\tilde{x},\tilde{y}) \in [/mm] X [mm] \times Y\,.$$
[/mm]
Interessant wäre es für Dich, Dir damit auch mal zu überlegen, dass dann $(X [mm] \times [/mm] Y,d)$ auch ein metrischer Raum ist, bzw. dass [mm] $d=d_{X \times Y}$ [/mm] eine Metrik auf $X [mm] \times [/mm] Y$ ist.
> > Ein Anfang:
> >
> >
> > Sei [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine konvergente Folge in G(f) und
> > [mm](x_0,y_0)[/mm] deren Limes
> >
> > Zu zeigen: [mm](x_0,y_0) \in[/mm] G(f)
> >
> > Es ist [mm]y_n[/mm] = [mm]f(x_n)[/mm] für jedes n.
> >
> > Weiter gilt : [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]y_n =f(x_n) \to y_0[/mm]
> >
> > Wie kommt nun die Stetigkeit von f ins Spiel ?
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> Wenn ich ehrlich bin hätte ich gedacht, das du mit:
> > Weiter gilt : [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]y_n =f(x_n) \to y_0[/mm]
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> schon die stetigkeit von f ins spiel gebracht hast... denn
> mit dem Folgenkriterium folgt ja für [mm]x_n->x_0,[/mm] dass
> ebenfalls gilt [mm]y_n=f(x_n)->f(x_0)=y_0.[/mm]
Du hast es ja anscheinend mittlerweile schon herausgefunden; nochmal kurz zu Deiner Kontrolle:
Es war [mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] eine Folge in $G(f)$ (d.h. [mm] $f(x_n)=y_n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$), [/mm] die gegen [mm] $(x_0,y_0) \in [/mm] X [mm] \times [/mm] Y$ konvergierte. Zu zeigen war nun, dass dann auch [mm] $(x_0,y_0) \in G(f)\,,$ [/mm] oder anders gesagt:
Dass [mm] $y_0=f(x_0)$ [/mm] gilt. Aus der Konvergenz von [mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] folgt dann insbesondere [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n=x_0$ [/mm] (im metrischen Raum [mm] $(X,d_X)$ [/mm] - d.h. genauer [mm] $\big(d_X(x_n,x_0)\big)_n$ [/mm] ist Nullfolge im Raum [mm] $(\IR,d_{|.|})$) [/mm] und [mm] $\lim_{n \to \infty}y_n=y_0$ [/mm] (im metrischen Raum [mm] $(Y,d_Y)$). [/mm] Das liefert Dir aber [mm] $f(x_0)=f(\lim_{n \to \infty}x_n)\,.$ [/mm] Wegen der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] folgt dann aber auch
[mm] $$f(x_0)=f(\lim_{n \to \infty}x_n)\underset{f\,\text{ stetig in} x_0}{=}\lim_{n \to \infty}f(x_n)\underset{y_n=f(x_n)\text{ für jedes }n}{=}\lim_{n \to \infty}y_n\,.$$
[/mm]
[mm] $(y_n)_n$ [/mm] konvergiert also (im metrischen Raum [mm] $(Y,d_Y)$) [/mm] sowohl gegen [mm] $y_0$ [/mm] als auch gegen [mm] $f(x_0)\,,$ [/mm] und weil der Grenzwert im metrischen Raum eindeutig ist, folgt [mm] $y_0=f(x_0)\,,$ [/mm] und damit insbesondere [mm] $(x_0,y_0) \in G(f)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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