abgeschlossen oder offen? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich beschäftige mich im Moment mit folgender Aufgabe:
Für m [mm] \in \IN [/mm] sei
[mm] M_{m} [/mm] := [mm] \{ z \in \IR | \exists \alpha_{1}, \alpha_{2},..., \alpha_{m} \in {0,1} : z= \summe_{k=1}^{m} \alpha_{k}*2^{-k} }
[/mm]
und
[mm] M_{ \infty} [/mm] := [mm] \{ z\in\IR | \exists m \in \IN \exists \alpha_{1}, \alpha_{2},..., \alpha_{m} \in {0,1} : z= \summe_{k=1}^{m} \alpha_{k}*2^{-k} }
[/mm]
(Die geschweiften Mengenklammern am Ende und diverse Leerzeichen macht "er" nicht.  )
Die Frage ist nun ob [mm] M_{m} [/mm] und [mm] M_{ \infty} [/mm] abgeschlossen (bzw. offen) in [mm] \IR [/mm] sind.
Die Definitionen für abgeschlossen und offen kenn ich, nur weiss ich nicht wie ich das hier anwenden soll. Die Mengen selber zu verstehen bereitet mir schon Probleme.
Danke für die Hilfe.
Gruß
Fingolfin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Bei [mm] $M_m$ [/mm] handelt es sich um eine Art Punktwolke: In [mm] $M_1$ [/mm] z.B. liegen nur zwei Punkte: [mm] $M_1=\left\{0;\bruch{1}{2}\right\}$.
[/mm]
In [mm] $M_2$ [/mm] liegen vier Punkte: [mm] $M_2=\left\{0;\bruch{1}{4};\bruch{1}{2};\bruch{3}{4}\right\}$.
[/mm]
Durch Induktion lässt sich zeigen: [mm] $|M_k|=2^k$.
[/mm]
[mm] $M_k$ [/mm] ist also eine endliche Vereinigung von Punkten. Sind Punkte abgeschlossen oder offen?
Um beantworten zu können, ob [mm] $M_\infty$ [/mm] abgeschlossen ist solltest du Folgen in [mm] $M_\infty$ [/mm] betrachten und dir überlegen, ob sie auch in [mm] $M_\infty$ [/mm] konvergieren...
Und welche Zahlen in $[0;1]$ kann man eigentlich so approximieren?
Hoffe, dass dir das weiterhilft, sonst gebe ich gerne noch ein paar Tipps...
Gruß, banachella
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Hi!
Also ich hatte mir jetzt überlegt, dass [mm] M_{m} [/mm] abgeschlossen ist, weil jeder Punkt ein Randpunkt ist. Denn ich kann zu jedem z eine Kugel [mm] B_{r}(z) [/mm] wählen, so dass [mm] B_{r}(z) [/mm] auf jeden Fall Punkte aus [mm] M_{m} [/mm] \ [mm] \IR [/mm] enthält.
Ich bin mir da aber nicht sicher.
[mm] M_{\infty} [/mm] ist denke ich die Vereinigung aus unendlich vielen [mm] M_{m} [/mm] 's.
Also [mm] M_{\infty} [/mm] = [mm] \bigcup_{m=1}^{\infty}M_{m} [/mm] .
Es kommt jetzt darauf an, ob dass was ich mir zu [mm] M_{m} [/mm] überlegt habe richtig ist oder falsch ist.
Gruß
Fingolfin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fingolfin!
> Also ich hatte mir jetzt überlegt, dass [mm]M_{m}[/mm] abgeschlossen
> ist, weil jeder Punkt ein Randpunkt ist.
Das ist kein Kriterium für Abgeschlossenheit!!! Dann wäre ja auch [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] abgeschlossen!
Es stimmt, dass [mm] $M_m$ [/mm] abgeschlossen ist, denn [mm] $M_m$ [/mm] ist eine endliche Vereinigung von einelementigen Mengen, und diese sind bezüglich der Standardtopologie auf [mm] $\IR$ [/mm] abgeschlossen (weil ihr Komplement offenbar offen ist).
> [mm]M_{\infty}[/mm] ist denke ich die Vereinigung aus unendlich
> vielen [mm]M_{m}[/mm] 's.
> Also [mm]M_{\infty}[/mm] = [mm]\bigcup_{m=1}^{\infty}M_{m}[/mm] .
> Es kommt jetzt darauf an, ob dass was ich mir zu [mm]M_{m}[/mm]
> überlegt habe richtig ist oder falsch ist.
Nein, das ist völlig unabhängig davon!! [mm] $M_{\infty}$ [/mm] ist ja die Menge aller dyadischen Zahlen in $[0,1]$, also aller Zahlen aus $[0,1]$, bei denen die Dualentwicklung abbricht. Dies Menge ist offenbar nicht offen, denn in jeder Umgebung einer dyadischen Zahl liegen auch nicht-dyadische Zahlen. Umgekehrt ist [mm] $M_{\infty}$ [/mm] aber auch nicht abgeschlossen, da ich jede reelle Zahl $x$ aus $[0,1]$ als Grenzwert von dyadischen Zahlen aus $[0,1]$, also aus Elementen von [mm] $M_{\infty}$, [/mm] beliebig genau approximieren kann.
[mm] $M_{\infty}$ [/mm] ist also weder offen noch abgeschlossen.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo!
> Es stimmt, dass [mm]M_m[/mm] abgeschlossen ist, denn [mm]M_m[/mm] ist eine
> endliche Vereinigung von einelementigen Mengen, und diese
> sind bezüglich der Standardtopologie auf [mm]\IR[/mm] abgeschlossen
> (weil ihr Komplement offenbar offen ist).
Ok, das versteh ich.
> [mm]M_{\infty}[/mm] ist ja
> die Menge aller dyadischen Zahlen in [mm][0,1][/mm], also aller
> Zahlen aus [mm][0,1][/mm], bei denen die Dualentwicklung abbricht.
Mmmh... also ehrlich das versteh ich nicht. Ich habe mir [mm] M_{\infty} [/mm] ganz anders vorgestelt?!
Gruß
Fingolfin
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Hallo.
> > Es stimmt, dass [mm]M_m[/mm] abgeschlossen ist, denn [mm]M_m[/mm] ist eine
> > endliche Vereinigung von einelementigen Mengen, und diese
> > sind bezüglich der Standardtopologie auf [mm]\IR[/mm] abgeschlossen
> > (weil ihr Komplement offenbar offen ist).
>
> Ok, das versteh ich.
>
> > [mm]M_{\infty}[/mm] ist ja
> > die Menge aller dyadischen Zahlen in [mm][0,1][/mm], also aller
> > Zahlen aus [mm][0,1][/mm], bei denen die Dualentwicklung abbricht.
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> Mmmh... also ehrlich das versteh ich nicht. Ich habe mir
> [mm]M_{\infty}[/mm] ganz anders vorgestelt?!
>
> Gruß
> Fingolfin
[mm] M_{\infty} [/mm] ist, wie Stefan bereits gesagt hat, die Menge aller dyadischen Zahlen auf dem Intervall [0,1].
Das kann man von der Vorstellung her vielleicht am Besten so verstehen: Wenn Du in der Definition von [mm] M_{\infty} [/mm] den Faktor [mm] 2^{-n} [/mm] durch [mm] 10^{-n} [/mm] und die Menge {0,1} durch {0,...,9} ersetzt, hast Du ja gerade die Menge der abbrechenden Dezimalbrüche in [0,1].
Hilft dir das in deiner Anschauung etwas weiter?
Gruß,
Christian
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