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Hallo,
ich möchte zeigen, dass jede abgeschlossene Teilmenge A einer kompakten Menge K kompakt ist.
Dazu habe ich mir überlegt:
Sei U eine offene Überdeckung von A. Ergänze U zu einer offenen Überdeckung U' von K. Nun genügen endlich viele Mengen aus U', um K zu überdecken. Diese Mengen überdecken dann natürlich auch A. Also ist A kompakt.
Das Problem ist eigentlich nur, dass mir nicht klar ist, warum ich fordern muss, dass A abgeschlossen ist. Natürlich funktioniert es für offene Mengen nicht (ein offenes Intervall in den reellen Zahlen ist ja nicht kompakt), aber ich könnte ja ganz analog einen Beweis führen, da ich irgendwie eben nicht benutzt habe, dass A abgeschlossen ist.
Wo steckt mein Denkfehler?
Danke!
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Hallo,
der entscheidende Punkt bei Dir ist, dass Du eine Überdeckung von $A$ bestehend aus offenen Mengen [mm] $U_i$ [/mm] ja zu einer offenen Überdeckung von $K$ erweitern willst. Wenn $A$ abgeschlossen ist, dann ist [mm] $K\setminus [/mm] A$ offen (in $K$) und somit [mm] $\{ U_i \ | \ i \in I\} \cup \{ K \setminus A \}$ [/mm] eine offene Überdeckung von $K$. Dabei benutzt Du natürlich die Abgeschlossenheit von $A$.
Gruß,
Marc
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