www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - abelsche Gruppen
abelsche Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

abelsche Gruppen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Do 23.06.2011
Autor: chesn

Aufgabe
Bestimme (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen mit 108 Elementen.

Hallo! Ich habe den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen benutzt:

Es gilt: [mm] 108=2^{2}*3^{3} [/mm]

Die Gruppen der Ordnung 4 sind [mm] \IZ/4\IZ [/mm] und [mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ [/mm]

Gruppen der Ordnung 27: [mm] \IZ/27\IZ [/mm] , [mm] \IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ [/mm] und [mm] \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ [/mm]

Die gesuchten abelschen Gruppen ergeben sich jetzt aus Kombination dieser Gruppen, also gibt es die 6 folgenden abelschen Gruppen mit 108 Elementen:

[mm] \IZ/4\IZ \times \IZ/27\IZ [/mm]
[mm] \IZ/4\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ [/mm]
[mm] \IZ/4\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ [/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/27\IZ [/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ [/mm]
[mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ [/mm]

Ist das so richtig oder habe ich noch was vergessen / übersehen??

Vielen Dank!! :)
        
Bezug
abelsche Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Do 23.06.2011
Autor: felixf

Moin!

> Bestimme (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen mit
> 108 Elementen.
>  Hallo! Ich habe den Hauptsatz über endlich erzeugte
> abelsche Gruppen benutzt:
>  
> Es gilt: [mm]108=2^{2}*3^{3}[/mm]
>  
> Die Gruppen der Ordnung 4 sind [mm]\IZ/4\IZ[/mm] und [mm]\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ[/mm]
>  
> Gruppen der Ordnung 27: [mm]\IZ/27\IZ[/mm] , [mm]\IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ[/mm]
> und [mm]\IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ[/mm]
>  
> Die gesuchten abelschen Gruppen ergeben sich jetzt aus
> Kombination dieser Gruppen, also gibt es die 6 folgenden
> abelschen Gruppen mit 108 Elementen:
>  
> [mm]\IZ/4\IZ \times \IZ/27\IZ[/mm]
>  [mm]\IZ/4\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ[/mm]
>  
> [mm]\IZ/4\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ[/mm]
>  
> [mm]\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/27\IZ[/mm]
>  [mm]\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/9\IZ[/mm]
>  
> [mm]\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ[/mm]
>  
> Ist das so richtig oder habe ich noch was vergessen /
> übersehen??

Ja, das stimmt so.

Die Anzahlen kannst du auch leicht so kontrollieren: es gibt $p(n)$ abelsche Gruppen der Ordnung [mm] $q^n$ [/mm] (wenn $q$ eine Primzahl ist), wobei $p$ die Partitionsfunktion ist; Funktionswerte kannst du etwa []hier nachschauen.

Hier ist die Gruppenordnung [mm] $q_1^2 [/mm] + [mm] q_2^3$ [/mm] mit [mm] $q_1 [/mm] = 2, [mm] q_2 [/mm] = 3$, womit die Anzahl der Gruppen $p(2) [mm] \cdot [/mm] p(3)$ ist (die Exponenten, nicht die Primzahlen, auch wenn das hier das gleiche ist :) ). Da $p(2) = 2$ und $p(3) = 3$ ist, gibt es 6 Gruppen.

Du siehst also dass du schonmal die richtige Anzahl hast ;-)

LG Felix

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]