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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] \IQ [/mm] keine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist, und auch kein freier [mm] \IZ-Modul [/mm] |
Hi,
ich komm bei dieser Aufgabe nicht wirklich weit und hoffe, dass ich hier ein paar Tips bekomme, wie ich da rangehen soll.
Man soll ja zeigen, dass [mm] \IQ [/mm] keine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist, und auch kein freier [mm] \IZ-Modul. [/mm] Da würde sich doch ein Widerspruchsbeweis eignen oder?
Also ich nehme an, dass [mm] \IQ [/mm] eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist.
Dann ist [mm] \IQ [/mm] isomorph zu einer direkten Summe von unendlichen zyklischen Gruppen, die Primzahlordnung haben.
Also [mm] \IQ \cong \IZ/p1^{k1} \oplus [/mm] .... [mm] \oplus \IZ/pr^{kr} \oplus \IZ \oplus [/mm] ... [mm] \oplus \IZ, [/mm] wobei p1,..., pr Primzahlen sind, k1,..., kr [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
Aber was kann ich jetzt damit weiter machen?
Wenn [mm] \IQ [/mm] kein freier [mm] \IZ-Modul [/mm] ist, dann bedeutet das, dass es keine Basis für [mm] \IQ [/mm] gibt oder?
Ich würd mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
Danke 
Lg, Milka
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> Zeige, dass [mm]\IQ[/mm] keine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist,
> und auch kein freier [mm]\IZ-Modul[/mm]
> Man soll ja zeigen, dass [mm]\IQ[/mm] keine endlich erzeugte
> abelsche Gruppe ist, [...]
> Aber was kann ich jetzt damit weiter machen?
Keine Ahnung.
Ich würde es so angehen:
Angenommen, es gibt ein endl. Erzeugendensystem [mm] (\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n}).
[/mm]
Dann müßte man damit
[mm] \bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1} [/mm] erzeugen können.
>
> Wenn [mm]\IQ[/mm] kein freier [mm]\IZ-Modul[/mm] ist, dann bedeutet das, dass
> es keine Basis für [mm]\IQ[/mm] gibt oder?
Ja.
Gruß v. Angela
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Halla Angela,
ich hab mir grad deine Antwort durchgelesen, danke
> Ich würde es so angehen:
>
> Angenommen, es gibt ein endl. Erzeugendensystem
> [mm](\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n}).[/mm]
>
> Dann müßte man damit
>
> [mm]\bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1}[/mm] erzeugen können.
Ich hab nicht ganz verstanden, wie man auf diesen Schritt kommt, also wie das EZS [mm] (\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n}) [/mm] das erzeugt. Könntest du mir das nochmal erklären?
Jetzt muss ich doch irgendwie zu einem Widerspruch kommen, weil ich ja angenommen habe, dass [mm] \IQ [/mm] eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist.
Aber nach Annahme ist [mm] \bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1} [/mm] ist endlich erzeugt und [mm] \in [/mm] IQ oder?
>
> >
> > Wenn [mm]\IQ[/mm] kein freier [mm]\IZ-Modul[/mm] ist, dann bedeutet das, dass
> > es keine Basis für [mm]\IQ[/mm] gibt oder?
Wenn man gezeigt hat, dass es für [mm] \IQ [/mm] kein endliches EZS existiert, dann gibt es auch keine Basis für [mm] \IQ [/mm] oder? Weil eine Basis ist ja ein linear unabh. EZS. Also folgt daraus, dass [mm] \IQ [/mm] kein freier [mm] \IZ-Modul [/mm] ist.
Vielen Dank für deine Hilfe.
Lg, Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Mi 20.06.2007 | | Autor: | statler |
Hi Anna!
> > Ich würde es so angehen:
> >
> > Angenommen, es gibt ein endl. Erzeugendensystem
> > [mm](\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n}).[/mm]
> >
> > Dann müßte man damit
> >
> > [mm]\bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1}[/mm] erzeugen können.
>
> Ich hab nicht ganz verstanden, wie man auf diesen Schritt
> kommt, also wie das EZS
> [mm](\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n})[/mm] das erzeugt.
> Könntest du mir das nochmal erklären?
Das tut es ja eben nicht!
> Jetzt muss ich doch irgendwie zu einem Widerspruch kommen,
> weil ich ja angenommen habe, dass [mm]\IQ[/mm] eine endlich erzeugte
> abelsche Gruppe ist.
Eben drum, da ist der Widerspruch!
> Aber nach Annahme ist [mm]\bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1}[/mm]
> ist endlich erzeugt und [mm]\in[/mm] IQ oder?
> >
> > >
> > > Wenn [mm]\IQ[/mm] kein freier [mm]\IZ-Modul[/mm] ist, dann bedeutet das, dass
> > > es keine Basis für [mm]\IQ[/mm] gibt oder?
>
> Wenn man gezeigt hat, dass es für [mm]\IQ[/mm] kein endliches EZS
> existiert, dann gibt es auch keine Basis für [mm]\IQ[/mm] oder?
Dann könnte es noch eine unendliche Basis haben, ein unendliches Erzeugensystem hat es auf jeden Fall, ich nehme einfach alle Elemente.
> Weil eine Basis ist ja ein linear unabh. EZS. Also folgt
> daraus, dass [mm]\IQ[/mm] kein freier [mm]\IZ-Modul[/mm] ist.
So funktioniert das Argument nicht, du müßtest darüber nachdenken, ob 2 (oder mehr) Elemente aus [mm] \IQ [/mm] linear unabhängig sein können.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo statler,
vielen Dank für deine Antwort
Ich hab eine Frage zu dem Widerspruch> Hi Anna!
>
> > > Ich würde es so angehen:
> > >
> > > Angenommen, es gibt ein endl. Erzeugendensystem
> > > [mm](\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n}).[/mm]
> > >
> > > Dann müßte man damit
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1}[/mm] erzeugen können.
> >
> > Ich hab nicht ganz verstanden, wie man auf diesen Schritt
> > kommt, also wie das EZS
> > [mm](\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n})[/mm] das erzeugt.
> > Könntest du mir das nochmal erklären?
>
> Das tut es ja eben nicht!
>
> > Jetzt muss ich doch irgendwie zu einem Widerspruch kommen,
> > weil ich ja angenommen habe, dass [mm]\IQ[/mm] eine endlich erzeugte
> > abelsche Gruppe ist.
>
> Eben drum, da ist der Widerspruch!
Dass das EZS [mm] (\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n}) [/mm] das nicht erzeugen kann, sieht man sofort oder wie ich spätestens jetzt
Aber wie kann man das formal begründen oder beweisen?
[mm] (\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n}) [/mm] als EZS heißt doch:
[mm] \alpha_{1} \bruch{r_1}{s_1} [/mm] + .... + [mm] \alpha_{n} \bruch{r_n}{s_n} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q} \in \IQ
[/mm]
Und warum kann [mm] \bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1} [/mm] nicht damit erzeugt werden?
> > > > Wenn [mm]\IQ[/mm] kein freier [mm]\IZ-Modul[/mm] ist, dann bedeutet das, dass
> > > > es keine Basis für [mm]\IQ[/mm] gibt oder?
> >
> > Wenn man gezeigt hat, dass es für [mm]\IQ[/mm] kein endliches EZS
> > existiert, dann gibt es auch keine Basis für [mm]\IQ[/mm] oder?
>
> Dann könnte es noch eine unendliche Basis haben, ein
> unendliches Erzeugensystem hat es auf jeden Fall, ich nehme
> einfach alle Elemente.
>
> > Weil eine Basis ist ja ein linear unabh. EZS. Also folgt
> > daraus, dass [mm]\IQ[/mm] kein freier [mm]\IZ-Modul[/mm] ist.
>
> So funktioniert das Argument nicht, du müßtest darüber
> nachdenken, ob 2 (oder mehr) Elemente aus [mm]\IQ[/mm] linear
> unabhängig sein können.
Damit [mm] \IQ [/mm] keine Basis haben kann, denk ich mal, dass je 2 Elemente aus [mm] \IQ [/mm] linear abhängig sein müssen oder? Denn ein unendliches EZS hat [mm] \IQ [/mm] ja immer, wie du es gesagt hast.
Ich hab versucht, die Lin. Abh. zu zeigen.
Gelte [mm] \alpha \bruch{p}{q} [/mm] + [mm] \beta \bruch{s}{t} [/mm] = 0 mit [mm] \bruch{p}{q}, \bruch{s}{t} \in [/mm] Q-{0}, [mm] \alpha, \beta \in \IQ, [/mm] wobei [mm] \alpha \not= [/mm] 0 oder [mm] \beta \not= [/mm] 0.
[mm] \alpha \bruch{p}{q} [/mm] = - [mm] \beta \bruch{s}{t}
[/mm]
[mm] \IQ [/mm] ist kommutativ
[mm] \bruch{p}{q} \alpha [/mm] = - [mm] \beta \bruch{s}{t}
[/mm]
Wähle [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{s}{t}
[/mm]
Dann ist [mm] \beta [/mm] = - [mm] \bruch{p}{q}
[/mm]
Also sind je 2 Elemente aus [mm] \IQ [/mm] lin. abh.
Stimmt das so?
Lg,
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:50 Do 21.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Dass das EZS [mm](\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n})[/mm] das
> nicht erzeugen kann, sieht man sofort oder wie ich
> spätestens jetzt
> Aber wie kann man das formal begründen oder beweisen?
>
> [mm](\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n})[/mm] als EZS heißt
> doch:
> [mm]\alpha_{1} \bruch{r_1}{s_1}[/mm] + .... + [mm]\alpha_{n} \bruch{r_n}{s_n}[/mm]
> = [mm]\bruch{p}{q} \in \IQ[/mm]
>
> Und warum kann [mm]\bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1}[/mm] nicht
> damit erzeugt werden?
Ich bin in Eile, deswegen nur kurz: Die Koeffizienten [mm] \alpha_{i} [/mm] sind in [mm] \IZ. [/mm] Wie addierst du denn Brüche? Du bringst sie auf den Hauptnenner, also bildest du das kgV. Wie sieht das hier aus? Und dann mußt du noch kürzen. Welche Primfaktoren können dann im Nenner des Resultats höchstens auftauchen?
> Damit [mm]\IQ[/mm] keine Basis haben kann, denk ich mal, dass je 2
> Elemente aus [mm]\IQ[/mm] linear abhängig sein müssen oder?
Umgekehrt: Wenn je 2 Elemente lin. unabh. sind, dann gibt es höchstens eine Basis der Länge 1. Also wär das Ding endlich erzeugt.
> Denn ein
> unendliches EZS hat [mm]\IQ[/mm] ja immer, wie du es gesagt hast.
> Ich hab versucht, die Lin. Abh. zu zeigen.
> Gelte [mm]\alpha \bruch{p}{q}[/mm] + [mm]\beta \bruch{s}{t}[/mm] = 0 mit
> [mm]\bruch{p}{q}, \bruch{s}{t} \in[/mm] Q-{0}, [mm]\alpha, \beta \in \IQ,[/mm]
> wobei [mm]\alpha \not=[/mm] 0 oder [mm]\beta \not=[/mm] 0.
> [mm]\alpha \bruch{p}{q}[/mm] = - [mm]\beta \bruch{s}{t}[/mm]
> [mm]\IQ[/mm] ist
> kommutativ
> [mm]\bruch{p}{q} \alpha[/mm] = - [mm]\beta \bruch{s}{t}[/mm]
> Wähle [mm]\alpha[/mm]
> = [mm]\bruch{s}{t}[/mm]
> Dann ist [mm]\beta[/mm] = - [mm]\bruch{p}{q}[/mm]
>
> Also sind je 2 Elemente aus [mm]\IQ[/mm] lin. abh.
> Stimmt das so?
Das (also dein Beweis) stimmt deswegen noch nicht ganz, weil die Koeffizienten aus [mm] \IZ [/mm] sein müssen. Das Resultat stimmt schon.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo statler,
ich hab mir grad deine Antwort durchgelesen, danke dir!
> > Aber wie kann man das formal begründen oder beweisen?
> >
> > [mm](\bruch{r_1}{s_1},...,\bruch{r_n}{s_n})[/mm] als EZS heißt
> > doch:
> > [mm]\alpha_{1} \bruch{r_1}{s_1}[/mm] + .... + [mm]\alpha_{n} \bruch{r_n}{s_n}[/mm]
> > = [mm]\bruch{p}{q} \in \IQ[/mm]
> >
> > Und warum kann [mm]\bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1}[/mm] nicht
> > damit erzeugt werden?
>
> Ich bin in Eile, deswegen nur kurz: Die Koeffizienten
> [mm]\alpha_{i}[/mm] sind in [mm]\IZ.[/mm] Wie addierst du denn Brüche? Du
> bringst sie auf den Hauptnenner, also bildest du das kgV.
> Wie sieht das hier aus? Und dann mußt du noch kürzen.
> Welche Primfaktoren können dann im Nenner des Resultats
> höchstens auftauchen?
Also wenn ich [mm] \alpha_{1} \bruch{r_1}{s_1} [/mm] + .... + [mm] \alpha_{n} \bruch{r_n}{s_n} [/mm] auf einen Hauptnenner bringe, dann erhalte ich:
[mm] \bruch{\alpha_{1} s_2... s_n r_1 + ... + \alpha_{n} s_1...s_n-1 r_n}{s_1...... s_n}
[/mm]
Stimmt das so? Aber ich versteh nicht ganz, wie ich hier kürzen soll und wie das mit den Primfaktoren im Nenner gemeint ist. Ich hoffe, du kannst es mir nochmal erklären...
>
> > Damit [mm]\IQ[/mm] keine Basis haben kann, denk ich mal, dass je 2
> > Elemente aus [mm]\IQ[/mm] linear abhängig sein müssen oder?
>
> Umgekehrt: Wenn je 2 Elemente lin. unabh. sind, dann gibt
> es höchstens eine Basis der Länge 1. Also wär das Ding
> endlich erzeugt.
Du meinst, wenn 2 Elemente lin. abhängig sind oder? Aber dann erhalte ich was, was endlich erzeugt ist, das will ich doch aber gar nicht haben.
Irgendwie ist mir das noch nicht so klar...
> > Denn ein
> > unendliches EZS hat [mm]\IQ[/mm] ja immer, wie du es gesagt hast.
> > Ich hab versucht, die Lin. Abh. zu zeigen.
> > Gelte [mm]\alpha \bruch{p}{q}[/mm] + [mm]\beta \bruch{s}{t}[/mm] = 0 mit
> > [mm]\bruch{p}{q}, \bruch{s}{t} \in[/mm] Q-{0}, [mm]\alpha, \beta \in \IQ,[/mm]
> > wobei [mm]\alpha \not=[/mm] 0 oder [mm]\beta \not=[/mm] 0.
> > [mm]\alpha \bruch{p}{q}[/mm] = - [mm]\beta \bruch{s}{t}[/mm]
> > [mm]\IQ[/mm] ist
> > kommutativ
> > [mm]\bruch{p}{q} \alpha[/mm] = - [mm]\beta \bruch{s}{t}[/mm]
> > Wähle
> [mm]\alpha[/mm]
> > = [mm]\bruch{s}{t}[/mm]
> > Dann ist [mm]\beta[/mm] = - [mm]\bruch{p}{q}[/mm]
> >
> > Also sind je 2 Elemente aus [mm]\IQ[/mm] lin. abh.
> > Stimmt das so?
>
> Das (also dein Beweis) stimmt deswegen noch nicht ganz,
> weil die Koeffizienten aus [mm]\IZ[/mm] sein müssen. Das Resultat
> stimmt schon.
Ich hab versucht, das [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] so zu wählen, dass sie [mm] \in \IZ [/mm] sind, aber ich find keine passenden "Ausdrücke" damit [mm]\alpha \bruch{p}{q}[/mm] + [mm]\beta \bruch{s}{t}[/mm] = 0 ist.
Irgendwie komm ich nur auf die rationale Zahlen: [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{s}{t},
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = - [mm] \bruch{p}{q}
[/mm]
Ich hoffe, du kannst mir da einen kleinen Tip geben, wie ich [mm] \alpha, \beta \in \IZ [/mm] finden kann.
Vielen Dank,
Milka
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> > > [mm]\alpha_{1} \bruch{r_1}{s_1}[/mm] + .... + [mm]\alpha_{n} \bruch{r_n}{s_n}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{p}{q} \in \IQ[/mm]
> > >
> > > Und warum kann [mm]\bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1}[/mm] nicht
> > > damit erzeugt werden?
> Also wenn ich [mm]\alpha_{1} \bruch{r_1}{s_1}[/mm] + .... +
> [mm]\alpha_{n} \bruch{r_n}{s_n}[/mm] auf einen Hauptnenner bringe,
> dann erhalte ich:
> [mm]\bruch{\alpha_{1} s_2... s_n r_1 + ... + \alpha_{n} s_1...s_{n-1} r_n}{s_1...... s_n}[/mm]
Hallo,
so ganz richtig aufgeschrieben ist das ja nicht, aber einige Indizien weisen daraufhin, daß Du das Richtige meinst. Dir ist klar, daß in den [mm] \produkt s_j [/mm] vor den [mm] r_i [/mm] der Faktor [mm] s_i [/mm] stets fehlt?
Wenn ja, dann könntest Du das mal für Dich korrekt aufschreiben. Brauchst Du aber hier nicht zu posten - soll nur für Dich sein.
>
> Stimmt das so? Aber ich versteh nicht ganz, wie ich hier
> kürzen soll und wie das mit den Primfaktoren im Nenner
> gemeint ist.
Ich kriege nun einen Anflug von Schwermut...
Du wolltest doch damit [mm] \bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1} [/mm] erzeugen.
Also muß sein [mm] \bruch{1}{\produkt_{i=1}^{n}s_i + 1}=\bruch{\alpha_{1} s_2... s_n r_1 + ... + \alpha_{n} s_1...s_{n-1} r_n}{s_1...... s_n}
[/mm]
Multipliziere jetzt mit [mm] \produkt s_i. [/mm] Und?
Was steht rechts, was links?
> > > Damit [mm]\IQ[/mm] keine Basis haben kann, denk ich mal, dass je 2
> > > Elemente aus [mm]\IQ[/mm] linear abhängig sein müssen oder?
> >
> > Umgekehrt: Wenn je 2 Elemente lin. unabh. sind, dann gibt
> > es höchstens eine Basis der Länge 1. Also wär das Ding
> > endlich erzeugt.
>
> Du meinst, wenn 2 Elemente lin. abhängig sind oder?
Natürlich.
Aber
> dann erhalte ich was, was endlich erzeugt ist, das will ich
> doch aber gar nicht haben.
> Irgendwie ist mir das noch nicht so klar...
Es ist ein Widerspruch.
> Ich hab versucht, das [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] so zu wählen, dass
> sie [mm]\in \IZ[/mm] sind, aber ich find keine passenden "Ausdrücke"
> damit [mm]\alpha \bruch{p}{q}[/mm] + [mm]\beta \bruch{s}{t}[/mm] = 0 ist.
> Irgendwie komm ich nur auf die rationale Zahlen: [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]\bruch{s}{t},[/mm]
> [mm]\beta[/mm] = - [mm]\bruch{p}{q}[/mm]
>
> Ich hoffe, du kannst mir da einen kleinen Tip geben, wie
> ich [mm]\alpha, \beta \in \IZ[/mm] finden kann.
Hier geht es doch um überhaupt nichts anderes als um das Rechnen mit rationalen Zahlen!
Betrachte die Gleichung [mm] a\bruch{3}{4}+b\bruch{13}{41}=0.
[/mm]
Wie kann man a und b wählen? (Es gibt da sehr viele Möglichkeiten.)
Gruß v. Angela
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