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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mi 22.12.2004 | | Autor: | maria |
Hallo!! Wir haben vor ein paar Wochen folgendes in der Vorlesung gehabt, was ich nicht so verstehe:
Seien (B,+) abelsche Gruppe, [mm] A\not=\emptyset [/mm] Menge
[mm] B^{A}:={f:A \to B| f Abb.}
[/mm]
Für f,g [mm] \in B^{A} [/mm] sei innere Verknüpfung definiert
f [mm] \oplus [/mm] g:A [mm] \to [/mm] B
[mm] x\mapsto(f \oplus [/mm] g)(x)=f(x)+g(x)
Woher kommt denn das g??? g seh ich nirgendwo definiert, nur dass es in [mm] B^{A} [/mm] enthalten ist weiss ich. [mm] \oplus [/mm] ist die direkte Summe oder? Irgendwie versteh ich gar nichts, was wir da aufgeschrieben haben. Was meint unser Professor damit?
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Hi Maria!
>Woher kommt denn das g??? g seh ich nirgendwo definiert, nur dass es in
>$ [mm] B^{A} [/mm] $ enthalten ist weiss ich.
Na also! Mehr brauchst du ja nicht. Du weißt, daß f und g zwei (i.d.R. verschiedene) Abbildungen aus der Menge $ [mm] B^{A} [/mm] $ sind, für die die angegebene Addition gilt.
>$ [mm] \oplus [/mm] $ ist die direkte Summe oder?
Das stimmt. Ich weiß zwar nicht ganz, worum es in der Aufgabe/ dem Beweis geht, aber wichtig bei der direkten Summe ist eigentlich nur, daß folgendes gilt:
1. A, B, C Vektorräume, $ A [mm] \oplus [/mm] B = C $, genau dann wenn $ C = A + B $
und
2. $ A [mm] \cap [/mm] B = 0 $
Das bedeutet nichts anderes, als daß du einen Vektorraum aus zwei anderen (aber natürlich bestimmten) zusammenbauen kannst. Dabei muß jedoch gelten, daß beide Räume keine gleichen Vektoren haben dürfen (deshalb 2.). Damit ist die direkte Summe gerade das Analogon zur disjunkten Vereinigung.
Ich hoffe, ich konnte dir etwas helfen. Falls nicht, präzisiere deine Frage bitte etwas.
Gruß
Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 22.12.2004 | | Autor: | maria |
Dank dir erstmal. Ich hab´s aber trotzdem noch nicht ganz kapiert. Was soll ich mir darunter nun genau vorstellen: f [mm] \oplus [/mm] g:A [mm] \to [/mm] B? Das alles was ich hingeschrieben habe soll ein Beispiel für eine Gruppe sein. Danach folgt ein Beweis, dass [mm] (B^{A},\oplus) [/mm] eine abelsche Gruppe ist. Die Definition für [mm] \oplus [/mm] habe ich auch so in einem Buch gelesen, wie du mir geagt hast, aber Vektorräume wurden erst nach diesem Beispiel behandelt. was bedeutet dieses [mm] \oplus [/mm] in diesem Fall nun genau?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Maria!
Man hat einfach nur eine Addition in [mm] $B^A$ [/mm] definiert, nichts weiter. Man wollte also nur definieren, was die Summe zweier Abbildungen von $A$ nach $B$ sein soll. Dies geschieht einfach so, dass man zwei Abbildungen $f,g: A [mm] \to [/mm] B$ komponentenweise addiert und die daraus entstehende Abbildung $h$ mit $h(a)=f(a)+g(a)$ von $A$ nach $B$ eben [mm] $f\oplus [/mm] g$ nennt. Dass man diese Addition gerade mit [mm] $\oplus$ [/mm] bezeichnet hat, spielt keine Rolle, man hätte sie auch wieder einfach "+" oder vielleicht "#" oder, gerade zu Silvester, "![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") " nennen können, das tut nichts zur Sache. Es ist nur eine (frei gewählte) Bezeichnung für die Summe zweier Abbildungen (die Summe ist dann eben wieder eine Abbildung von $A$ nach $B$). Mit der direkten Summe von Vektorräumen hat das rein gar nichts zu tun.
Man kann nun zeigen, dass [mm] $B^A$ [/mm] mit dieser Verknüpfung, also dieser Addition, zu einer abelschen Gruppe wird.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Mi 22.12.2004 | | Autor: | maria |
Stimmt, das scheint irgendwie logisch zu sein . Jetzt hab ich auch den dazu gehörenden Beweis verstanden (*freu*). Danke!
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