abelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe 1:
Sind die folgenden Mengen G zusammen mit der Verknüpfung
[mm] \* [/mm] : G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G, (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \* [/mm] y
abelsche Gruppen (kurz: (G, [mm] \* [/mm] ))?
[mm] (\IZ, [/mm] +)
[mm] (\IN, [/mm] +)
[mm] (\IZ, \cdot [/mm] )
Aufgabe 2
Es sei G eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element bez. der Addition sei 0. Auf der Menge G [mm] \times [/mm] G wird die komponentenweise Addition x + y zweier Elemente x = [mm] (x_{1}, x_{2}) \in [/mm] G [mm] \times [/mm] G und y = [mm] (y_{1}, y_{2}) \in [/mm] G wie folgt definiert:
[mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}, x_{2} [/mm] + [mm] y_{2}) [/mm]
Ist (G [mm] \times [/mm] G, + ) eine abelsche Gruppe? |
Zu Aufgabe 1
Ich möchte gerne wissen, ob meine Lösung stimmt.
[mm] (\IZ, [/mm] +) ist eine abelsche Gruppe.
0 ist das neutrale Element.
-a ist das inverse Element zu a.
Das Assoziativgesetz gilt.
Die Gruppe ist kommutativ.
[mm] (\IN, [/mm] +) ist keine abelsche Gruppe, wenn [mm] \IN [/mm] die Menge aller natürlichen Zahlen ohne die Null ist.
[mm] (\IN, [/mm] +) ist eine abelsche Gruppe, wenn [mm] \IN [/mm] die Menge aller natürlichen Zahlen mit der Null ist.
0 ist/wäre das neutrale Element.
-a ist das inverse Element.
Assoziativität ist vorhanden.
Die Gruppe ist kommutativ.
[mm] (\IZ, \cdot [/mm] ) ist keine abelsche Gruppe, weil [mm] \IZ [/mm] die Null enthält.
( [mm] \{ \IZ \setminus 0\}, \cdot) [/mm] wäre eine abelsche Gruppe.
1 ist das neutrale Element.
[mm] \bruch{1}{a} [/mm] ist das inverse Element.
( [mm] \{ \IZ \setminus 0\}, \cdot) [/mm] ist assoziativ und kommutativ.
zu Aufgabe 2
(0,0) ist das neutrale Element.
[mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + (0, 0) = [mm] (\underbrace{x_{1} + 0}_{= x_{1} weil x_{1} \in G}, \underbrace{x_{2} + 0}_{= x_{1} weil x_{2} \in G}) [/mm]
[mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] + (0, 0) = [mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] weil G abelsch und 0 neutrales Element in G.
(-a, -a) ist das inverse Element.
[mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (-x_{1}, -x_{2}) [/mm] = (0, 0)
[mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] + (- [mm] y_{1} [/mm] , - [mm] y_{2} [/mm] )
Die Gruppe ist assoziativ.
(x + y) + z = x + (y + z)
[mm] ((x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2})) [/mm] + [mm] (z_{1}, z_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}, x_{2} [/mm] + [mm] y_{2}) [/mm] + [mm] (z_{1}, z_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] y_{1} [/mm] + [mm] z_{1}, x_{2} [/mm] + [mm] y_{2} [/mm] + [mm] z_{2})
[/mm]
[mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] ((y_{1}, y_{2}) [/mm] + [mm] (z_{1}, z_{2})) [/mm] = [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1} [/mm] + [mm] z_{1}, y_{2} [/mm] + [mm] z_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] y_{1} [/mm] + [mm] z_{1}, x_{2} [/mm] + [mm] y_{2} [/mm] + [mm] z_{2}) [/mm]
Nun meine Frage: wie kann ich nachweisen, dass die Gruppe kommutativ und damit abelsch ist. Ich habe das Gefühl, dass das daraus folgt, dass G abelsch ist. Ich würde mich über einen Ansatz freuen.
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 So 28.10.2007 | | Autor: | koepper |
> Aufgabe 1:
> Sind die folgenden Mengen G zusammen mit der Verknüpfung
> [mm]\*[/mm] : G [mm]\times[/mm] G [mm]\to[/mm] G, (x,y) [mm]\mapsto[/mm] x [mm]\*[/mm] y
> abelsche Gruppen (kurz: (G, [mm]\*[/mm] ))?
>
> [mm](\IZ,[/mm] +)
> [mm](\IN,[/mm] +)
> [mm](\IZ, \cdot[/mm] )
>
> Aufgabe 2
> Es sei G eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element bez.
> der Addition sei 0. Auf der Menge G [mm]\times[/mm] G wird die
> komponentenweise Addition x + y zweier Elemente x = [mm](x_{1}, x_{2}) \in[/mm]
> G [mm]\times[/mm] G und y = [mm](y_{1}, y_{2}) \in[/mm] G wie folgt
> definiert:
> [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] + [mm](y_{1}, y_{2})[/mm] = [mm](x_{1}[/mm] + [mm]y_{1}, x_{2}[/mm]
> + [mm]y_{2})[/mm]
> Ist (G [mm]\times[/mm] G, + ) eine abelsche Gruppe?
Hallo Jennifer,
> Zu Aufgabe 1
> Ich möchte gerne wissen, ob meine Lösung stimmt.
> [mm](\IZ,[/mm] +) ist eine abelsche Gruppe.
> 0 ist das neutrale Element.
> -a ist das inverse Element zu a.
> Das Assoziativgesetz gilt.
> Die Gruppe ist kommutativ.
was du schreibst, ist richtig, aber es wäre gut zu erwähnen, daß die Menge unter der Operation abgeschlossen ist. Das ist nämlich ebenfalls erforderlich. Das heißt also hier: Die Summe zweier Elemente aus [mm] $\IZ$ [/mm] liegt wieder in [mm] $\IZ$.
[/mm]
> [mm](\IN,[/mm] +) ist keine abelsche Gruppe, wenn [mm]\IN[/mm] die Menge
> aller natürlichen Zahlen ohne die Null ist.
Begründung?
> [mm](\IN,[/mm] +) ist eine abelsche Gruppe, wenn [mm]\IN[/mm] die Menge
> aller natürlichen Zahlen mit der Null ist.
> 0 ist/wäre das neutrale Element.
> -a ist das inverse Element.
Würdest du mir dann mal das inverse Element zu 3 nennen?
Liegt das in [mm] $\IN$?
[/mm]
> Assoziativität ist vorhanden.
> Die Gruppe ist kommutativ.
> [mm](\IZ, \cdot[/mm] ) ist keine abelsche Gruppe, weil [mm]\IZ[/mm] die
> Null enthält.
> ( [mm]\{ \IZ \setminus 0\}, \cdot)[/mm] wäre eine abelsche Gruppe.
> 1 ist das neutrale Element.
> [mm]\bruch{1}{a}[/mm] ist das inverse Element.
Würdest du mir dann mal das inverse Element zu 3 nennen?
Liegt das in [mm] $\IZ$?
[/mm]
> ( [mm]\{ \IZ \setminus 0\}, \cdot)[/mm] ist assoziativ und
> kommutativ.
>
> zu Aufgabe 2
> (0,0) ist das neutrale Element.
> [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] + (0, 0) = [mm](\underbrace{x_{1} + 0}_{= x_{1} weil x_{1} \in G}, \underbrace{x_{2} + 0}_{= x_{1} weil x_{2} \in G})[/mm]
> [mm](y_{1}, y_{2})[/mm] + (0, 0) = [mm](y_{1}, y_{2})[/mm] weil G abelsch und
> 0 neutrales Element in G.
>
> (-a, -a) ist das inverse Element.
> [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] + [mm](-x_{1}, -x_{2})[/mm] = (0, 0)
> [mm](y_{1}, y_{2})[/mm] + (- [mm]y_{1}[/mm] , - [mm]y_{2}[/mm] )
>
> Die Gruppe ist assoziativ.
> (x + y) + z = x + (y + z)
> [mm]((x_{1}, x_{2})[/mm] + [mm](y_{1}, y_{2}))[/mm] + [mm](z_{1}, z_{2})[/mm] = [mm](x_{1}[/mm]
> + [mm]y_{1}, x_{2}[/mm] + [mm]y_{2})[/mm] + [mm](z_{1}, z_{2})[/mm] = [mm](x_{1}[/mm] + [mm]y_{1}[/mm] +
> [mm]z_{1}, x_{2}[/mm] + [mm]y_{2}[/mm] + [mm]z_{2})[/mm]
> [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] + [mm]((y_{1}, y_{2})[/mm] + [mm](z_{1}, z_{2}))[/mm] =
> [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] + [mm](y_{1}[/mm] + [mm]z_{1}, y_{2}[/mm] + [mm]z_{2})[/mm] = [mm](x_{1}[/mm] +
> [mm]y_{1}[/mm] + [mm]z_{1}, x_{2}[/mm] + [mm]y_{2}[/mm] + [mm]z_{2})[/mm]
>
> Nun meine Frage: wie kann ich nachweisen, dass die Gruppe
> kommutativ und damit abelsch ist. Ich habe das Gefühl, dass
> das daraus folgt, dass G abelsch ist. Ich würde mich über
> einen Ansatz freuen.
Gib dir 2 Elemente aus G x G vor und schreibe die Addition hin, rechne sie aus und nutze die Kommutativität von G.
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
Erst einmal Danke für die fixe Antwort.
Dann die Frage:
Meintest du das so? Ist das richtig?
x,y [mm] \in [/mm] G [mm] \times [/mm] G
[mm] x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \in [/mm] G.
x+y = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}, x_{2} [/mm] + [mm] y_{2}) \underbrace{ = }_{G abelsch} (y_{1} [/mm] + [mm] x_{1}, y_{2} [/mm] + [mm] x_{2}) [/mm] = y + x
[mm] \Box
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Di 30.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist richtig!
Hast du deine Antworten zu der ersten Aufgabe nach den Fragen von Koepper geändert? Es ist netter, wenn du sagst, dass du den Sinn der Fragen verstanden und deine Aufgabe korrigiert hast!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Di 30.10.2007 | | Autor: | Syladriel |
Ich habe es korrigiert. Mir fiel dann auf, dass ich einen Denkfehler hatte. Außerdem kam ich heute ans Skript und habe alles noch mal Schritt für Schritt an den Gruppenaxiomen überprüft. Ich hoffe jetzt einfach, dass ich genügend Punkte auf das gesamt Aufgabenblatt bekomme.
|
|
|
|
