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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 So 03.12.2006 | | Autor: | darwin |
| Aufgabe | | Gilt a² = e für alle Elemente [mm] a \in G[/mm] einer Gruppe mit Einselement e, so ist G abelsch. man gebe außerdem ein Beispiel einer derartigen Gruppe an. |
Hallo zusammen,
ich bräuchte nur mal einen Hinweis, ob ich mit folgender Vermutung richtig liege:
(G,+)
Trägermenge ist die Einermenge G={0}, 0+0=0+0 also gilt Kommutativität
Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich würde es so machen:
Das Entscheidende ist hier wohl, dass $ [mm] g^{2}=e [/mm] $ gilt. Übersetzt heißt das g ist zu sich selbst invers, also $ [mm] g=g^{-1}. [/mm] $ Nehmen wir uns also zwei bel. $ [mm] g,h\in [/mm] G $. Dann folgt $ [mm] g\cdot{}h=g^{-1}\cdot{}h^{-1}=(h\cdot{}g)^{-1}=h\cdot{}g. [/mm] $
Die Eigenschaft $ [mm] (hg)^{-1}=g^{-1}\cdot{}h^{-1} [/mm] $ müsste man evtl. noch zeigen. Das ist aber auch nur ein Einzeiler: $ (h g) [mm] (g^{-1} h^{-1}) [/mm] = h g [mm] g^{-1} h^{-1} [/mm] = h [mm] h^{-1} [/mm] = e = (h g) (h [mm] g)^{-1} [/mm] $. Jetzt auf beiden Seiten mit $ (h [mm] g)^{-1} [/mm] $ von links multiplizieren, und schon steht's da.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 21.01.2007 | | Autor: | schennie |
Hallo,
ich habe eine ähnliche Aufgabe. Ich stehe aber irgendwie auf dem Schlauch und weiß gar nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Es sei G eine Gruppe mit der Eigenschaft a²=e für alle a [mm] \in [/mm] G. Zeigen Sie, dass G abelsch ist.
Abelsch ist ja das Gleiche wie kommutativ, oder? Und das besagt ja, dass a [mm] \circ [/mm] b = b [mm] \circ [/mm] a ist.
Wenn ich jetzt also a² ausschreiben würde, wäre das ja a * a = e . Weiter fällt mir nur dazu ein, dass a [mm] \circ [/mm] a' = e
Kann mir irgendjemand einen Hinweis geben?
Das wäre wirklich super!
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Hallo
es steht eigentlich alles schon oben erklärt.
Ansonsten präzisiere mal deine Frage(n), dann kann man gucken, was genau unklar ist
Ein Hinweis noch: [mm] a^2 [/mm] (=e) bedeutet nichts anderes als a [mm] \circ [/mm] a (=e)
Du musst deine gegebene Verknüpfung in der Gruppe beibehalten und nicht von [mm] \circ [/mm] zu * wechseln ;)
Gruß
schachuzipus
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