abbildungsmatrix bzgl basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mo 15.02.2010 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Wir betrachten den R-Vektorraum V = R2 als euklidischen Vektorraum mit dem Standard-
Skalarprodukt.
(i) Zeigen Sie, dass die Abbildung f : V -> V, (a, b) ->
[mm] (\bruch{12}{13}a+\bruch{5}{13}b, \bruch{5}{13}a-\bruch{12}{13}b)linear [/mm] ist.
(ii) Geben Sie die Matrix von f bzgl. der Basis (1, 1), (1,−1) von V an. |
Halllo!
Die Linearität als Vorraussetzung habe ich schon einmal gezeigt.
Nun stehe ich vor dem Problem die Abbildungsmatrix aufzustellen bzwgl. einer Basis, ich habe zwar das skript vor mir liegen, verstehe aber trotzdem nicht ganz was ich da tun muss.
meine annahme wäre
[mm] f(b_1) [/mm] ausrechnen= [mm] (\bruch{17}{13}, \bruch{-7}{13})
[/mm]
[mm] f(b_2)= (\bruch{17}{13}, \bruch{17}{13})
[/mm]
ist dann die abbildungsmatrix das hier:
[mm] \pmat{\bruch{17}{13}& \bruch{17}{13}\\ \bruch{-7}{13} & \bruch{17}{13}}
[/mm]
vielen dank für tips:)
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Hallo Katja,
> Wir betrachten den R-Vektorraum V = R2 als euklidischen
> Vektorraum mit dem Standard-
> Skalarprodukt.
> (i) Zeigen Sie, dass die Abbildung f : V -> V, (a, b) ->
> [mm](\bruch{12}{13}a+\bruch{5}{13}b, \bruch{5}{13}a-\bruch{12}{13}b)linear[/mm]
> ist.
> (ii) Geben Sie die Matrix von f bzgl. der Basis (1, 1),
> (1,−1) von V an.
> Halllo!
>
>
> Die Linearität als Vorraussetzung habe ich schon einmal
> gezeigt.
> Nun stehe ich vor dem Problem die Abbildungsmatrix
> aufzustellen bzwgl. einer Basis, ich habe zwar das skript
> vor mir liegen, verstehe aber trotzdem nicht ganz was ich
> da tun muss.
>
> meine annahme wäre
>
> [mm]f(b_1)[/mm] ausrechnen= [mm](\bruch{17}{13}, \bruch{-7}{13})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]f(b_2)= (\bruch{17}{13}, \bruch{17}{13})[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da stimmt was in der ersten Komponente nicht!
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>
> ist dann die abbildungsmatrix das hier:
>
> [mm]\pmat{\bruch{17}{13}& \bruch{17}{13}\\ \bruch{-7}{13} & \bruch{17}{13}}[/mm]
Wie kommst du darauf?
Du musst die errechneten Bilder der Basisvektoren als LK der Basisvektoren darstellen und die in dieser LK auftauchenden Koeffizienten als Spalten in die Darstellungsmatrix packen.
Dieses Prozedere angewandt auf den i-ten Basisvektor liefert die i-te Spalte der Darstellungsmatrix.
Mal für den [mm] \red{1}. [/mm] Basisvektor:
Du hast richtig berechnet: [mm] $f\left(\vektor{1\\1}\right)=\vektor{17/13\\-7/13}$
[/mm]
Diesen Bildvektor nun als LK der Basisvektoren darstellen:
[mm] $\vektor{17/13\\-7/13}=\alpha\cdot{}\vektor{1\\1}+\beta\cdot{}\vektor{1\\-1}$
[/mm]
Das kannst du nun selber ausrechnen, es liefert [mm] $\alpha=5/13, \beta=12/13$
[/mm]
Den Koeffizientenvektor [mm] $\vektor{\alpha\\\beta}$ [/mm] packe nun als [mm] \red{1}. [/mm] Spalte in die Darstellungsmatrix, also
[mm] $M=\pmat{5/13&\vdots{}\\12/13&\vdots{}}$
[/mm]
Das Bild des 2.Basisvektors berechne nochmal neu und dann nach Schema x die 2.Spalte der Darstellungsmatrix berechnen.
> vielen dank für tips:)
>
LG
schachuzipus
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