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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Kathinka |
hallöchen,
hab schon ein bisschen im forum hier gesucht und gefunden, dass die abbildungsmatrix für eine spiegelung so aussieht:
[mm] \pmat{ cos2\alpha & sin2\alpha \\ sin2\alpha & -cos2\alpha }
[/mm]
hm, mir ist leider nur überhaupt nicht klar warum das so ist. wäre für eine kurze erklärung sehr dankbar, hab leider nichts dazu gefunden.
wenn ich nun eine gleitspiegelung habe, also eine spiegelung und danach eine parallelverschiebung des objekt, könnte ich das dann so darstellen?:
[mm] \pmat{ cos2\alpha & sin2\alpha \\ sin2\alpha & -cos2\alpha } [/mm] + [mm] \vektor{c1 \\ c2}
[/mm]
wobei c1,c2 dann der verschiebungsvektor ist? und wenn ich nur eine veschiebung habe kann ich einfach meinen ursprungspunkt nehmen und auch den verschiebungsvektor addieren, da gibt es dann gar keine "abbildungsmatrix" in dem sinne oder?
vielen dank :) lg katja
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>hallöchen,
> hab schon ein bisschen im forum hier gesucht und gefunden,
> dass die abbildungsmatrix für eine spiegelung so aussieht:
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> [mm]\pmat{ \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos2\alpha }[/mm]
>
> hm, mir ist leider nur überhaupt nicht klar warum das so
> ist. wäre für eine kurze erklärung sehr dankbar, hab leider
> nichts dazu gefunden.
[mm]\alpha[/mm] ist offenbar der Steigungswinkel der Gerade (durch den Ursprung), an der gespiegelt wird: die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix einer solchen linearen Abbildung sind einfach die Bilder der Basisvektoren: also überleg' mal, wie die beiden Basiseinheitsvektoren bei Spiegelung an dieser Geraden abgebildet werden. (Bem: Man könnte diese Abbildungsmatrix auch als Produkt dreier Abbildungsmatrizen erhalten: der Matrix einer Drehung um [mm]-\alpha[/mm], einer Spiegelung an der [mm]x[/mm]-Achse und einer Drehung um [mm]+\alpha[/mm].)
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> wenn ich nun eine gleitspiegelung habe, also eine
> spiegelung und danach eine parallelverschiebung des objekt,
> könnte ich das dann so darstellen?:
>
> [mm]\pmat{ \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha } + \vektor{c_1 \\ c_2}[/mm]
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> wobei c1,c2 dann der verschiebungsvektor ist? und wenn ich
> nur eine veschiebung habe kann ich einfach meinen
> ursprungspunkt nehmen und auch den verschiebungsvektor
> addieren, da gibt es dann gar keine "abbildungsmatrix" in
> dem sinne oder?
Nein: bei einer linearen Abbildung ist ja der Ursprung des Koordinatensystems (bzw. der Nullvektor) stets ein Fixpunkt. Nimmst Du eine (nicht-null) Translation dazu, so erhältst Du eine "affine" Abbildung, die also, wie Du richtig gemerkt hast, nicht mehr eine lineare Abbildung im eigentlichen Sinne ist.
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