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| Aufgabe | überprüfen sie jeweils,ob die abbildungen $f$ und $g$ wohldefiniert sind und ob die Abbildung $ [mm] f\circ [/mm] g$ definiert ist. Wenn ja,geben sie sie an.Wenn nicht,geben sie eine Menge M an , für die $f [mm] \circ [/mm] (g|M)$ definiert ist. (Denken sie daran,alle verwendten Behauptungen zu begründen.)
$a) f [mm] :\IR_{+} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x(1-x)$
[mm] $g:\IN \to \IQ, [/mm] x [mm] \mapsto\frac{1}{x}$
[/mm]
$b) f [mm] :\IR_{+} \to \IR_{+}, [/mm] x [mm] \mapsto \sqrt{x+1}$
[/mm]
[mm] $g:\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] (x+1)(x-1)$
$c) f: [mm] \IR\times \IR \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x+y$
$g: [mm] \IR \to \IR \times \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] (x,1-x)$ |
hi
meine frage vorneweg ist, ich kenn die definition von wohldefiniert heit , aber wie zeige ich das jetzt beweis technisch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Ladon |
Wie definierst du denn "wohldefiniert"?
Eigentlich musst du ja nur zeigen, dass für eine gegebene Funktion $f $
$$ [mm] x=y\Rightarrow [/mm] f (x)=f (y) $$ gilt.
Das zeigt Wohldefiniertheit.
MfG
Ladon
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ladon,
> Wie definierst du denn "wohldefiniert"?
> Eigentlich musst du ja nur zeigen, dass für eine gegebene
> Funktion [mm]f[/mm]
> [mm]x=y\Rightarrow f (x)=f (y)[/mm] gilt.
> Das zeigt Wohldefiniertheit.
ja, wobei hier $x,y [mm] \in D_f$ [/mm] mit versteckt wird. Ich würde das Ganze aber erstmal
vielleicht mit
![[]](/images/popup.gif) Definition 1.6, 2.
machen - es kommt auch ein wenig darauf an, wie der Begriff *Abbildung*
definiert wurde.
Gruß,
Marcel
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$ a) f [mm] :\IR_{+} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x(1-x) $
$x=y [mm] \Rightarrow [/mm] x(1-x)=y(1-y) da x =y gleich sind heißt das x(1-x)=x(1-x)$
also ist die abbildung wohldefiniert
$ [mm] g:\IN \to \IQ, [/mm] x [mm] \mapsto\frac{1}{x} [/mm] $
$ x=Y [mm] \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y} \gdw [/mm] x=y$ ist also auch wohldefiniert.
$f [mm] \circ [/mm] g (x)= f(g(x))= [mm] f(\frac{1}{x})= \frac{1}{x}(1-\frac{1}{x})$
[/mm]
also$ f [mm] \circ [/mm] g : [mm] \IN \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \frac{1}{x}(1-\frac{1}{x})$
[/mm]
jedoch muss der [mm] $W_{g}$ [/mm] angepasst werden auf $g: [mm] \IN \to \IQ_{+}$
[/mm]
da [mm] $\IQ_{+} \subset \IR_{+}$
[/mm]
b)
$ f [mm] :\IR_{+} \to \IR_{+}, [/mm] x [mm] \mapsto \sqrt{x+1} [/mm] $
ist wohldefiniert da x=y [mm] \Rightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{y+1} \gdw [/mm] x+1=y+1 [mm] \gdw [/mm] x=y
$ [mm] g:\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] (x+1)(x-1) x=y [mm] \Rightarrow x^2-1=y^2-1 \gdw [/mm] |x|=|y|$ ist auch wohldefiniert
$f( [mm] (x+1)(x-1))=\sqrt{(x+1)(x-1)+1}$
[/mm]
[mm] $f\circ [/mm] g : [mm] \IR \to \IR_{+} x\mapsto \sqrt{x^2-1+1}= [/mm] |x|$
jedoch muss [mm] $W_{g}$ [/mm] auf [mm] $\IR_{+}$ [/mm] eingeschränkt werden
$ c) f: [mm] \IR\times \IR \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x+y $
[mm] (x_1,x_2)=(y_1,y_2) \Rightarrow x_1+y_1=x_2+y_2,dass [/mm] heißt die abbildung ist wohldefiniert
$ g: [mm] \IR \to \IR \times \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] (x,1-x) $
$x= y [mm] \Rightarrow [/mm] (x,1-x)=(y,1-y) $
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=y$ abbildung ist wohldefiniert
[mm] $f\circ [/mm] g : [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] 1 $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mo 27.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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