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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 23.09.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Zeige, dass die komplexe Funktion
f(z) [mm] =\frac{z-a}{1-\overline{a}z}
[/mm]
mit |a|<1
die Menge E = [mm] \{z\in \IC | |z|<1\}
[/mm]
in sich abbildet. |
Hallo zusammen,
mein Ansatz:
Sei z [mm] \in [/mm] E
|f(z)| [mm] =|\frac{z-a}{1-\overline{a}z}|
[/mm]
[mm] \le \frac{|z|+|a|}{|1+\overline{a}z|}
[/mm]
< [mm] \frac{1+1}{|1+\overline{a}z|}
[/mm]
jetzt hätte ich noch gerne eine abschätzung wie:
[mm] |1+\overline{a}z| \ge [/mm] 2
dann hätte ich:
|f(z)| [mm] =|\frac{z-a}{1-\overline{a}z}| [/mm] < [mm] \frac{1+1}{2} [/mm] = 1
womit die behauptung gezeigt wäre.
Habe ich die Dreiecksungleichung überhaupt richtig angewandt?
Hat jemand eine Idee, wie man die noch fehlende Abschätzung zeigen kann?
Oder kann mir jemand einen Hinweis auf eine elegantere (bessere) Beweismethode geben?
Gruß,
Rutzel
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> Zeige, dass die komplexe Funktion
>
> f(z) [mm]=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}[/mm]
> mit |a|<1
>
> jetzt hätte ich noch gerne eine abschätzung wie:
>
> [mm]|1+\overline{a}z| \ge[/mm] 2
Hallo,
das wird nicht funktionieren: setz mal z=0 ein.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Di 23.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass die komplexe Funktion
>
> f(z) [mm]=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}[/mm]
> mit |a|<1
>
> die Menge E = [mm]\{z\in \IC | |z|<1\}[/mm]
>
> in sich abbildet.
> Hallo zusammen,
>
> mein Ansatz:
>
> Sei z [mm]\in[/mm] E
>
> |f(z)| [mm]=|\frac{z-a}{1-\overline{a}z}|[/mm]
> [mm]\le \frac{|z|+|a|}{|1+\overline{a}z|}[/mm]
> <
> [mm]\frac{1+1}{|1+\overline{a}z|}[/mm]
>
> jetzt hätte ich noch gerne eine abschätzung wie:
>
> [mm]|1+\overline{a}z| \ge[/mm] 2
>
> dann hätte ich:
>
> |f(z)| [mm]=|\frac{z-a}{1-\overline{a}z}|[/mm] < [mm]\frac{1+1}{2}[/mm] = 1
>
> womit die behauptung gezeigt wäre.
>
> Habe ich die Dreiecksungleichung überhaupt richtig
> angewandt?
> Hat jemand eine Idee, wie man die noch fehlende
> Abschätzung zeigen kann?
> Oder kann mir jemand einen Hinweis auf eine elegantere
> (bessere) Beweismethode geben?
>
> Gruß,
> Rutzel
Angela hat Dir schon gesagt, dass Deine Vorgehensweise nicht richtig ist.
Mach es so:
Wir haben |z|<1 und |a|<1. Zu zeigen ist: (*) [mm] |z-a|^2 [/mm] < [mm] |1-\overline{a}z|^2
[/mm]
Es ist (*) [mm] \gdw (z-a)(\overline{z}-\overline{a}) [/mm] < [mm] (1-\overline{a}z)(1-a\overline{z})
[/mm]
Multiplizier rechts und links aus und Du wirst sehen
(*) [mm] \gdw |z|^2(1-|a|^2) [/mm] < [mm] (1-|a|^2) \gdw |z|^2<1
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 23.09.2008 | | Autor: | Rutzel |
hallo, danke für deine antwort. ich bin gearde dabei sie nachzuvollziehen.
Ich habe noch eine weitere Frage:
Wir sollen auch zeigen, dass diese Funktion bijektiv ist. Ich konnte zeigen, dass sie injektiv ist. Zusammen mit dem beweis, dass die Funktion die Menge E in sich selbst abbildet, kann man doch folgern, dass sie auch surjektiv ist:
Da alle Urbilder wegen der Injektivität verschidene Bilder haben, und alle Bilder in E liegen, folgt, dass das bild nicht nur eine Teilmenge von E ist, sondern sogar gleich E. D.h. Jedes Bild besitzt ein Urbild => surjektivität.
Ist das richitg?
Ein andere Beweis zur surjektivität der Funktion:
y [mm] :=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}
[/mm]
[mm] y(1-\overline{a}z)=z-a
[/mm]
[mm] y-y\overline{a}z=z-a
[/mm]
[mm] z+y\overline{a}z=y+a
[/mm]
[mm] z(1+y\overline{a})=y+a
[/mm]
[mm] z=\frac{y+a}{1+y\overline{a}}
[/mm]
(ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht verrechnet, habe meinen Schmierzettel gerade nicht zur Hand)
probe:
[mm] f(\frac{y+a}{1+y\overline{a}})=...=y
[/mm]
Wir haben also eine Vorschrift gefunden, um jedem Element aus der Bildmenge ein Urbild zuzuordnen (und sind bei den Äquivalenzumformungen immer in [mm] \IC [/mm] geblieben)
=> Surjektivität
Ist dieser 2. Beweis richtig (sofern ich mich bei den äquivalenzumformungen nicht verrechnet habe)? Ist er dem ersten Beweis vorzuziehen?
gruß
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Mi 24.09.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Wir sollen auch zeigen, dass diese Funktion bijektiv ist.
> Ich konnte zeigen, dass sie injektiv ist. Zusammen mit dem
> beweis, dass die Funktion die Menge E in sich selbst
> abbildet, kann man doch folgern, dass sie auch surjektiv
> ist:
>
> Da alle Urbilder wegen der Injektivität verschidene Bilder
> haben, und alle Bilder in E liegen, folgt, dass das bild
> nicht nur eine Teilmenge von E ist, sondern sogar gleich E.
> D.h. Jedes Bild besitzt ein Urbild => surjektivität.
>
> Ist das richitg?
nein. aus injektivität von selbstabbildungen folgt im allgemeinen nicht surjektivität. betrachte etwa [mm] $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; [/mm] n [mm] \mapsto [/mm] n + 1$ ist injektiv, aber nicht surjektiv.
> Ein andere Beweis zur surjektivität der Funktion:
> y [mm]:=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}[/mm]
> [mm]y(1-\overline{a}z)=z-a[/mm]
> [mm]y-y\overline{a}z=z-a[/mm]
> [mm]z+y\overline{a}z=y+a[/mm]
> [mm]z(1+y\overline{a})=y+a[/mm]
> [mm]z=\frac{y+a}{1+y\overline{a}}[/mm]
>
> (ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht verrechnet, habe
> meinen Schmierzettel gerade nicht zur Hand)
>
> probe:
> [mm]f(\frac{y+a}{1+y\overline{a}})=...=y[/mm]
>
> Wir haben also eine Vorschrift gefunden, um jedem Element
> aus der Bildmenge ein Urbild zuzuordnen (und sind bei den
> Äquivalenzumformungen immer in [mm]\IC[/mm] geblieben)
> => Surjektivität
>
> Ist dieser 2. Beweis richtig (sofern ich mich bei den
> äquivalenzumformungen nicht verrechnet habe)? Ist er dem
> ersten Beweis vorzuziehen?
ich habe deine umformungen nicht nachgerechnet, aber prinzipiell ist das eine sehr vernünftige art die surjektivität zu zeigen. du solltest vielleicht noch $|y| < 1 $ ziegen, aber dann bist du fertig. dem ersten weg ist er wegen obiger anmerkung auf jeden fall vorzuziehen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Mi 24.09.2008 | | Autor: | Rutzel |
Vielen Dank, für Deine Erklärung.
Gruß,
Rutzel
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