a und b*a*b^-1dieselbe Ordnung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 So 31.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Es sei [mm](G,*)[/mm] eine endliche Gruppe und [mm]a,b \in G[/mm].
Man zeige, dass [mm]a[/mm] und [mm]b*a*b^{-1}[/mm] dieselbe Ordnung besitzen. |
Hallo,
ich finde keinen Ansatz, um die Aufgabe zu lösen.
Ich weiß dass die Ordnung besagt:
[mm]a^{i}=e \gdw i[/mm] heißt Ordnung von [mm]a[/mm]
Aber jetzt weiß ich nicht so richtig wie ich den Beweis führen soll.
Es wäre also nett wenn mir jemand eine Beweisidee gibt.
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 So 31.10.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Es sei [mm](G,*)[/mm] eine endliche Gruppe und [mm]a,b \in G[/mm].
> Man
> zeige, dass [mm]a[/mm] und [mm]b*a*b^{-1}[/mm] dieselbe Ordnung besitzen.
> Hallo,
> ich finde keinen Ansatz, um die Aufgabe zu lösen.
>
> Ich weiß dass die Ordnung besagt:
> [mm]a^{i}=e \gdw i[/mm] heißt Ordnung von [mm]a[/mm]
>
> Aber jetzt weiß ich nicht so richtig wie ich den Beweis
> führen soll.
> Es wäre also nett wenn mir jemand eine Beweisidee gibt.
>
Berechne [mm] \left(b*a*b^{-1}\right)^i=b*a*b^{-1} [/mm] ... [mm] b*a*b^{-1}=b*a^i*b^{-1} [/mm] und benutze jetzt das [mm] a^i=e [/mm] gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 So 31.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Vielen Dank, hat mir sehr geholfen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 So 31.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Man gebe alle Elemente der Ordnung 2 in der alternerenden Gruppe [mm] (A_{4},*) [/mm] an und zeige, dass sie zusammen mit der Identität einen Normalteiler der Ordnung 4 in [mm] A_{4} [/mm] bilden.
Hinweis: Verwende (a) |
Dies ist Teilaufgabe b.
Also [mm] A_{4}:= \{ (id),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3),(1,2,3),(1,3,2),(1,2,4),(1,4,2),(1,3,4),(1,4,3),(2,3,4),(2,4,3) \}
[/mm]
Davon haben die Elemente (1,2)(3,4), (1,3)(2,4) und (1,4)(2,3) die Ordnung 2.
Also lautet die Gruppe die ich nun betrachten soll: [mm] U:=\{ (id), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) \}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |U|=4
Wie soll ich Aufgabenteil (a), also a und [mm] b*a*b^{-1} [/mm] haben die selbe Ordnung, benutzen? Ich denke dass das was mit dem Normalteilerkriterium: "Sei [mm](G,*)[/mm] Gruppe, U Untergruppe, dann: [mm] g*U*g^{-1} \subseteq [/mm] U für alle g [mm] \in [/mm] G" zu tun.
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mo 01.11.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Man gebe alle Elemente der Ordnung 2 in der alternerenden
> Gruppe [mm](A_{4},*)[/mm] an und zeige, dass sie zusammen mit der
> Identität einen Normalteiler der Ordnung 4 in [mm]A_{4}[/mm]
> bilden.
> Hinweis: Verwende (a)
>
> Dies ist Teilaufgabe b.
>
> Also [mm]A_{4}:= \{ (id),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3),(1,2,3),(1,3,2),(1,2,4),(1,4,2),(1,3,4),(1,4,3),(2,3,4),(2,4,3) \}[/mm]
>
> Davon haben die Elemente (1,2)(3,4), (1,3)(2,4) und
> (1,4)(2,3) die Ordnung 2.
>
> Also lautet die Gruppe die ich nun betrachten soll: [mm]U:=\{ (id), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) \}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] |U|=4
>
> Wie soll ich Aufgabenteil (a), also a und [mm]b*a*b^{-1}[/mm] haben
> die selbe Ordnung, benutzen? Ich denke dass das was mit dem
> Normalteilerkriterium: "Sei [mm](G,*)[/mm] Gruppe, U Untergruppe,
> dann: [mm]g*U*g^{-1} \subseteq[/mm] U für alle g [mm]\in[/mm] G" zu tun.
Klar hat es das! Wenn a die Ordnung 2 hat, hat [mm] bab^{-1} [/mm] nach a) auch die Ordnung 2, muß also wieder in U liegen, weil da ja alle Elemente der Ordnung 2 herumliegen.
Ist eigentlich klar, daß U überhaupt eine Untergruppe ist?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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