a_{Y}'Koordinatenspaltenvektor < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei Y = [mm] (y_{1} [/mm] ,.., [mm] y_{m}) [/mm] eine Basis des Vektorraums W über K und sei
[mm] K_{Y} [/mm] : W [mm] \to K^m [/mm] die Abbildung, die jedem Vektor aus W seinen Koordinatenspaltenvektor bezüglich Y zuordnet. Zeigen Sie, dass
[mm] K_{Y}^-1 [/mm] existiert, und bestimmen Sie es. |
Hallo!
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob die Aufgabe so geht wie ich es mir denke!
Wir haben einen Satz, der besagt, dass [mm] K_{Y}: [/mm] W [mm] \to K^m [/mm] , a [mm] \mapsto a_{Y} [/mm] ein Isomorphismus von K-Vektorräumen ist.
Reicht es also zur Umkehrabbildung zu sagen, dass [mm] K_{Y} [/mm] ein Isomorphismus ist, also bijektiv und es zu bijektiven Abbildungen immer eine Umkehrabbildung gibt?
Und Die Umkehrabbildung ist doch so definiert:
[mm] K_{Y}^-1 [/mm] : [mm] K^m \to [/mm] W , [mm] a_{Y} \mapsto [/mm] a
oder? Oder mache ich es mir damit [mm] a_{Y} \mapsto [/mm] a zu einfach?
Vielen Dank!
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Ersty |
Moin Michael, du schreibst ja oft hier rein :)
Jap, kannst du so schreiben, ich würde vlt noch hinzufügen, wie dein [mm] a_{Y} [/mm] und dein a konrekt aussieht (Linearkombination wovon),, dann biste auf der sicheren Seite. =) Ist aber nur ein Schönheitsfehler ;)
Gruß Ersty
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:58 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
reicht es hier denn nun zu sagen, dass ein Isomorphismus vorliegt (strukturerhaltende Bijektion) und Bijektionen besitzen ja immer ne Umkehrung:
von daher muss [mm] \kappa^{-y}_{Y} [/mm] existiern: [mm] K^{m} \to [/mm] W mit [mm] a_{Y} \mapsto [/mm] a
dabei ist [mm] a_{Y} [/mm] der Koordinatenspaltenvektor bezüglich der Basis Y und hat die form: [mm] \vektor{\alpha_{1} \\ ... \\ \alpha_{m}} \in K^{m}
[/mm]
und a= [mm] \summe_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} [/mm]
reicht das so oder muss noch mehr in den Beweis rein?..oder muss das formaler sein?..bin grad echt verunsichert...
LG Schmetterfee
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> Sei Y = [mm](y_{1}[/mm] ,.., [mm]y_{m})[/mm] eine Basis des Vektorraums W
> über K und sei
> [mm]K_{Y}[/mm] : W [mm]\to K^m[/mm] die Abbildung, die jedem Vektor aus W
> seinen Koordinatenspaltenvektor bezüglich Y zuordnet.
> Zeigen Sie, dass
> [mm]K_{Y}^-1[/mm] existiert, und bestimmen Sie es.
> Hallo!
>
> Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob die Aufgabe
> so geht wie ich es mir denke!
>
> Wir haben einen Satz, der besagt, dass [mm]K_{Y}:[/mm] W [mm]\to K^m[/mm] , a
> [mm]\mapsto a_{Y}[/mm] ein Isomorphismus von K-Vektorräumen ist.>
> Reicht es also zur Umkehrabbildung zu sagen, dass [mm]K_{Y}[/mm] ein
> Isomorphismus ist, also bijektiv und es zu bijektiven
> Abbildungen immer eine Umkehrabbildung gibt?
Hallo,
wenn Ihr den obigen Satz zur Verfügung habt, ist in der Tat die Existenz der Umkehrabbildung gesichert.
>
> Und Die Umkehrabbildung ist doch so definiert:
> [mm]K_{Y}^-1[/mm] : [mm]K^m \to[/mm] W , [mm]a_{Y} \mapsto[/mm] a
> oder? Oder mache ich es mir damit [mm]a_{Y} \mapsto[/mm] a zu
> einfach?
Wie Dein Kommilitone schon sagt, solltest Du hier die Funktionsvorschrift angeben, also wie ich einen Vektor des [mm] K^m [/mm] auf einen des V abbilden soll, die Schmetterfee schreibt das ja in ihrem Post.
Wenn man so weit ist, sollte man aber nochmal innehalten und kurz über ein paar Dinge nachdenken:
(1. Ist diese Abbildung wohldefiniert? - das ist hier kein Problem)
2. Ist sie überhaupt linear?
3. Wer garantiert denn, daß diese hier definierte Abbildung wirklich die Umkehrabbildung ist?
Das sind alles keine großartigen Sachen, aber erwähnenswert sind sie schon.
Gruß v. Angela
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> > Sei Y = [mm](y_{1}[/mm] ,.., [mm]y_{m})[/mm] eine Basis des Vektorraums W
> > über K und sei
> > [mm]K_{Y}[/mm] : W [mm]\to K^m[/mm] die Abbildung, die jedem Vektor aus W
> > seinen Koordinatenspaltenvektor bezüglich Y zuordnet.
> > Zeigen Sie, dass
> > [mm]K_{Y}^-1[/mm] existiert, und bestimmen Sie es.
> > Hallo!
> >
> > Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob die Aufgabe
> > so geht wie ich es mir denke!
> >
> > Wir haben einen Satz, der besagt, dass [mm]K_{Y}:[/mm] W [mm]\to K^m[/mm] , a
> > [mm]\mapsto a_{Y}[/mm] ein Isomorphismus von K-Vektorräumen ist.>
> > Reicht es also zur Umkehrabbildung zu sagen, dass [mm]K_{Y}[/mm] ein
> > Isomorphismus ist, also bijektiv und es zu bijektiven
> > Abbildungen immer eine Umkehrabbildung gibt?
>
> Hallo,
>
> wenn Ihr den obigen Satz zur Verfügung habt, ist in der
> Tat die Existenz der Umkehrabbildung gesichert.
>
> >
> > Und Die Umkehrabbildung ist doch so definiert:
> > [mm]K_{Y}^-1[/mm] : [mm]K^m \to[/mm] W , [mm]a_{Y} \mapsto[/mm] a
> > oder? Oder mache ich es mir damit [mm]a_{Y} \mapsto[/mm] a zu
> > einfach?
>
> Wie Dein Kommilitone schon sagt, solltest Du hier die
> Funktionsvorschrift angeben, also wie ich einen Vektor des
> [mm]K^m[/mm] auf einen des V abbilden soll, die Schmetterfee
> schreibt das ja in ihrem Post.
>
> Wenn man so weit ist, sollte man aber nochmal innehalten
> und kurz über ein paar Dinge nachdenken:
>
> (1. Ist diese Abbildung wohldefiniert? - das ist hier kein
> Problem)
>
> 2. Ist sie überhaupt linear?
>
> 3. Wer garantiert denn, daß diese hier definierte
> Abbildung wirklich die Umkehrabbildung ist?
>
> Das sind alles keine großartigen Sachen, aber
> erwähnenswert sind sie schon.
>
Naja die Dinge sind ja klar, dass sie vorliegen aber wenn man sich das bedenkt reicht es zu sagen, dass sie auf die Isomorphieeigenschaft zurück zu führen sind?...dies gehört zwar nicht in meinen Beweis rein...ich würde aber trotzdem gern wissen wie genau man das alles begründen muss.
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
>
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> > > Sei Y = [mm](y_{1}[/mm] ,.., [mm]y_{m})[/mm] eine Basis des Vektorraums W
> > > über K und sei
> > > [mm]K_{Y}[/mm] : W [mm]\to K^m[/mm] die Abbildung, die jedem Vektor aus W
> > > seinen Koordinatenspaltenvektor bezüglich Y zuordnet.
> > > Zeigen Sie, dass
> > > [mm]K_{Y}^-1[/mm] existiert, und bestimmen Sie es.
> > > Hallo!
> > >
> > > Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob die Aufgabe
> > > so geht wie ich es mir denke!
> > >
> > > Wir haben einen Satz, der besagt, dass [mm]K_{Y}:[/mm] W [mm]\to K^m[/mm] , a
> > > [mm]\mapsto a_{Y}[/mm] ein Isomorphismus von K-Vektorräumen ist.>
> > > Reicht es also zur Umkehrabbildung zu sagen, dass [mm]K_{Y}[/mm] ein
> > > Isomorphismus ist, also bijektiv und es zu bijektiven
> > > Abbildungen immer eine Umkehrabbildung gibt?
> >
> > Hallo,
> >
> > wenn Ihr den obigen Satz zur Verfügung habt, ist in der
> > Tat die Existenz der Umkehrabbildung gesichert.
> >
> > >
> > > Und Die Umkehrabbildung ist doch so definiert:
> > > [mm]K_{Y}^-1[/mm] : [mm]K^m \to[/mm] W , [mm]a_{Y} \mapsto[/mm] a
> > > oder? Oder mache ich es mir damit [mm]a_{Y} \mapsto[/mm] a
> zu
> > > einfach?
> >
> > Wie Dein Kommilitone schon sagt, solltest Du hier die
> > Funktionsvorschrift angeben, also wie ich einen Vektor des
> > [mm]K^m[/mm] auf einen des V abbilden soll, die Schmetterfee
> > schreibt das ja in ihrem Post.
> >
> > Wenn man so weit ist, sollte man aber nochmal innehalten
> > und kurz über ein paar Dinge nachdenken:
> >
> > (1. Ist diese Abbildung wohldefiniert? - das ist hier kein
> > Problem)
> >
> > 2. Ist sie überhaupt linear?
> >
> > 3. Wer garantiert denn, daß diese hier definierte
> > Abbildung wirklich die Umkehrabbildung ist?
> >
> > Das sind alles keine großartigen Sachen, aber
> > erwähnenswert sind sie schon.
> >
> Naja die Dinge sind ja klar, dass sie vorliegen aber wenn
> man sich das bedenkt reicht es zu sagen, dass sie auf die
> Isomorphieeigenschaft zurück zu führen sind?...
Hallo,
wir wissen ja bloß, daß K ein Isomorphismus ist. Daraus ergibt sich automatisch, daß es eine Umkehrabbildung gibt.
Aber ob die Abbildung, die hier voller Optimismus [mm] K^{-1} [/mm] genannt wurde, die Umkehrabbildung ist, wissen wir ja noch gar nicht, und das würde ich kurz "vorrechnen".
Gruß v. Angela
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> > > > Sei Y = [mm](y_{1}[/mm] ,.., [mm]y_{m})[/mm] eine Basis des Vektorraums W
> > > > über K und sei
> > > > [mm]K_{Y}[/mm] : W [mm]\to K^m[/mm] die Abbildung, die jedem Vektor aus W
> > > > seinen Koordinatenspaltenvektor bezüglich Y zuordnet.
> > > > Zeigen Sie, dass
> > > > [mm]K_{Y}^-1[/mm] existiert, und bestimmen Sie es.
> > > > Hallo!
> > > >
> > > > Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob die Aufgabe
> > > > so geht wie ich es mir denke!
> > > >
> > > > Wir haben einen Satz, der besagt, dass [mm]K_{Y}:[/mm] W [mm]\to K^m[/mm] , a
> > > > [mm]\mapsto a_{Y}[/mm] ein Isomorphismus von K-Vektorräumen ist.>
> > > > Reicht es also zur Umkehrabbildung zu sagen, dass [mm]K_{Y}[/mm] ein
> > > > Isomorphismus ist, also bijektiv und es zu bijektiven
> > > > Abbildungen immer eine Umkehrabbildung gibt?
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > wenn Ihr den obigen Satz zur Verfügung habt, ist in der
> > > Tat die Existenz der Umkehrabbildung gesichert.
> > >
> > > >
> > > > Und Die Umkehrabbildung ist doch so definiert:
> > > > [mm]K_{Y}^-1[/mm] : [mm]K^m \to[/mm] W , [mm]a_{Y} \mapsto[/mm] a
> > > > oder? Oder mache ich es mir damit [mm]a_{Y} \mapsto[/mm]
> a
> > zu
> > > > einfach?
> > >
> > > Wie Dein Kommilitone schon sagt, solltest Du hier die
> > > Funktionsvorschrift angeben, also wie ich einen Vektor des
> > > [mm]K^m[/mm] auf einen des V abbilden soll, die Schmetterfee
> > > schreibt das ja in ihrem Post.
> > >
> > > Wenn man so weit ist, sollte man aber nochmal innehalten
> > > und kurz über ein paar Dinge nachdenken:
> > >
> > > (1. Ist diese Abbildung wohldefiniert? - das ist hier kein
> > > Problem)
> > >
> > > 2. Ist sie überhaupt linear?
> > >
> > > 3. Wer garantiert denn, daß diese hier definierte
> > > Abbildung wirklich die Umkehrabbildung ist?
> > >
> > > Das sind alles keine großartigen Sachen, aber
> > > erwähnenswert sind sie schon.
> > >
> > Naja die Dinge sind ja klar, dass sie vorliegen aber wenn
> > man sich das bedenkt reicht es zu sagen, dass sie auf die
> > Isomorphieeigenschaft zurück zu führen sind?...
>
> Hallo,
>
> wir wissen ja bloß, daß K ein Isomorphismus ist. Daraus
> ergibt sich automatisch, daß es eine Umkehrabbildung
> gibt.
>
> Aber ob die Abbildung, die hier voller Optimismus [mm]K^{-1}[/mm]
> genannt wurde, die Umkehrabbildung ist, wissen wir ja noch
> gar nicht, und das würde ich kurz "vorrechnen".
>
> Gruß v. Angela
>
was muss man dann da vorrechnen?...das sie linear sind??..weil das folgt ja eigentlich direkt aus [mm] \kappa [/mm] weil diese linear ist..
LG Schmetterfee
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> > wir wissen ja bloß, daß K ein Isomorphismus ist. Daraus
> > ergibt sich automatisch, daß es eine Umkehrabbildung
> > gibt.
> >
> > Aber ob die Abbildung, die hier voller Optimismus [mm]K^{-1}[/mm]
> > genannt wurde, die Umkehrabbildung ist, wissen wir ja noch
> > gar nicht, und das würde ich kurz "vorrechnen".
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> was muss man dann da vorrechnen?...
Ömm - les ich's nicht gerade 4 Zeilen weiter oben?
> das sie linear
> sind??..weil das folgt ja eigentlich direkt aus [mm]\kappa[/mm] weil
> diese linear ist..
"Eigentlich" ist aber eigentlich gar kein gutes Argument...
Gruß v. Angela
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