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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 So 05.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Für welche Werte von a hat das LGS eine,keine bzw.unendlich viele Lösungen?
a) ax+z=a
x-ay=1
y-z=a |
Hallo zusammen^^
Ich hab versucht dieses LGS zu lösen,aber irgendwie hab ich da Widersprüche und versteh das grad nicht.Also ich hab die 2. und 3.Gleichung jeweils nach x und z aufgelöst:
x=1+ay, z=y-a
Dann hab ich diese beiden Werte in die 3.Gleichung eingesetzt,dann kam raus:
[mm] y=\bruch{a}{a^{2}+1}
[/mm]
Jetzt kann man doch sagen,dass das für alle a lösbar ist,da der Nennen nie Null werden kann.
Mit diesem y hab ich mir x und z ausgerechnet und hab:
[mm] x=\bruch{2a^{2}}{a^{2}+1}, y=\bruch{a}{a^{2}+1}, z=\bruch{a-a^{3}-1}{a^{2}+1}.
[/mm]
Jetzt wollte ich mal an einem Beispiel überprüfen,ob das so stimmt und hab a=0 gewählt.Wenn ich das in die Koordinaten einsetze,bekommme ich x=1,y=0,z=-1.Wenn ich jetzt aber diese Koordinaten in meine Gleichungen einsetze,dann bekomme ich einen Widerspruch.Ich weiß aber nicht,wo mein Fehler liegt?
Und dann hab ich mir ein weiteres Beispiel ausgesucht, a=1 und hab das in die Koordinaten eingesetzt.Dann waren meine Gleichungen alle richtig.
Aber jetzt kommt der Haken an der Sache:
Aus der 3.Gleichung folgt ja y=a+z.
Jetzt nehme ich mir die 2.Gleichung und setze y=a+z dort ein.Dann hab ich [mm] x-a^{2}+z=1.Wenn [/mm] ich setzt von dieser Gleichung die erste Gleichung,also ax+z=a, abziehe,dann hab ich [mm] x=\bruch{1-a+a^{2}}{1-a}.Das [/mm] würde bedeuten,dass es für a=1 keine Lösung gibt.Oben hab ich aber ausgerechnet,dass es für a=1 eine Lösung gibt.
Diese Aufgabe hat mich irgendwie voll durcheinander gebracht.Ich weiß jetz nicht genau,für welche a es denn nun Lösungen gibt und für welche nicht...
Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 05.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schreibe das LGS mal "sortiert" auf, und löse es dann mit dem Gauß-Verfahren.
Also
ax+z=a
x-ay=1
y-z=a
$$ [mm] \Rightarrow \vmat{ax+0y+z=a\\x-ay+0z=1\\0x+y-z=a} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw\vmat{\blue{x-ay+0z=1}\\ax+0y+z=a\\0x+y-z=a} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw\vmat{\blue{ax-a²y+0z=a}\\ax+0y+z=a\\0x+y-z=a} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw\vmat{\green{x-ay+0z=1}\\0x-a²y-z=0\\0x+y-z=a} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw\vmat{x-ay+0z=1\\0x-a²y-z=0\\0x+(1-a²)y+0z=2a} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw\vmat{x-ay+0z=1\\0x-a²y-z=0\\0x+y+0z=\red{\bruch{2a}{1-a²}}} [/mm] $$
Da [mm] \red{\bruch{2a}{1-a²}} [/mm] musst du die Fälle [mm] 1-a^{2}=0 \Rightarrow a=\pm1 [/mm] gesondert betrachten.
Und da ich an der markierten Stelle mit a multipliziert habe und später durch a teile, betrachte mal a=0 ebenfalls gesondert.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 05.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
OK,vielen Dank.
>
> Schreibe das LGS mal "sortiert" auf, und löse es dann mit
> dem Gauß-Verfahren.
>
> Also
> ax+z=a
> x-ay=1
> y-z=a
>
> [mm]\Rightarrow \vmat{ax+0y+z=a\\x-ay+0z=1\\0x+y-z=a}[/mm]
> [mm]\gdw\vmat{\blue{x-ay+0z=1}\\ax+0y+z=a\\0x+y-z=a}[/mm]
> [mm]\gdw\vmat{\blue{ax-a²y+0z=a}\\ax+0y+z=a\\0x+y-z=a}[/mm]
> [mm]\gdw\vmat{\green{x-ay+0z=1}\\0x-a²y-z=0\\0x+y-z=a}[/mm]
Hier versteh ich nicht,wie du auf die zweite Zeile kommst,also 0x-a²y-z=0 ?
> [mm]\gdw\vmat{x-ay+0z=1\\0x-a²y-z=0\\0x+(1-a²)y+0z=2a}[/mm]
>
> [mm]\gdw\vmat{x-ay+0z=1\\0x-a²y-z=0\\0x+y+0z=\red{\bruch{2a}{1-a²}}}[/mm]
>
> Da [mm]\red{\bruch{2a}{1-a²}}[/mm] musst du die Fälle [mm]1-a^{2}=0 \Rightarrow a=\pm1[/mm]
> gesondert betrachten.
> Und da ich an der markierten Stelle mit a multipliziert
> habe und später durch a teile, betrachte mal a=0 ebenfalls
> gesondert.
>
> Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 So 05.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
> OK,vielen Dank.
>
> >
> > Schreibe das LGS mal "sortiert" auf, und löse es dann mit
> > dem Gauß-Verfahren.
> >
> > Also
> > ax+z=a
> > x-ay=1
> > y-z=a
> >
> > [mm]\Rightarrow \vmat{ax+0y+z=a\\x-ay+0z=1\\0x+y-z=a}[/mm]
>
> > [mm]\gdw\vmat{\blue{x-ay+0z=1}\\ax+0y+z=a\\0x+y-z=a}[/mm]
>
> > [mm]\gdw\vmat{\blue{ax-a²y+0z=a}\\ax+0y+z=a\\0x+y-z=a}[/mm]
>
> > [mm]\gdw\vmat{\green{x-ay+0z=1}\\0x-a²y-z=0\\0x+y-z=a}[/mm]
>
> Hier versteh ich nicht,wie du auf die zweite Zeile
> kommst,also 0x-a²y-z=0 ?
GL1-GL2, also
(ax-a²y+0z=a)
-(ax+0y+z=a)
=0x-a²y-z=0
Marius
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