Zylindervolumen berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 So 26.10.2014 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen [mm] \mu(Z) [/mm] des Zylinders [mm] Z\subseteq\IR^3
[/mm]
- mit der seitlichen Begrenzung [mm] \bruch{x²}{a²}+\bruch{y²}{b²}=1
[/mm]
- der Ebene z=0 als untere Begrenzung
- und der Ebene z=px+qy+r als obere Begrenzung
Dabei sind a,b,p,q,r reelle Konstanten mit a>0 und b>0 und p,q,r sind so gewählt dass die obere Begrenzung des Zylinders oberhalb der x,y-Ebene liegt. |
Diese Aufgabe gilt es zu bearbeiten und bin mir noch etwas unsicher wie genau ich das anpacken soll weil das Skript dazu mal wieder nicht sonderlich viel hergibt, zumindest in meinen Augen.
Also der Abstand der beiden Ebenen dürfte ja die Höhe sein. Diese kann ich ja theoretisch mit der Hesse-Normalform ausrechnen oder?
r sollte, soweit ich das rausgelesen habe, der Radius sein. Diesen dürfte ich ja über die seitlichen Begrenzungen erlangen.
Allerdings habe ich das so in nem Koordiantensystem noch nie gerechnet...
Könnte mir ja jemand helfen wie ich die Sachen genau mit einander verrechne?
Evtl. Vernünftiges Youtubevideo oder ein Beispiel an dem ich mich orientieren kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 26.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
es ist [mm] $Z=\{(x,y,z)\in \IR^3|(x,y)\in B, 0\le z\le px+qy+r\} [/mm] mit der Ellipse [mm] B=\{(x,y)\in \IR^2|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\} [/mm] ein z-Normalgebiet.
Für das Volumen gilt: [mm] $\mu(Z)=\int_Z \mathrm{d}(x,y,z)=\int_B \mathrm{d}(x,y)\int_0^{px+qy+r} \mathrm{d}z.
[/mm]
Um das Integral über B auszuführen bietet sich die Transformationsformel an.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 26.10.2014 | | Autor: | Teryosas |
okay ich glaube das hab ich jetzt verstanden. Hab mir auch gerade das Skript neben mich gelegt und ja.
Wenn ich mich da jetzt auch nicht allzu sehr irre dürfte B hoffe ich dann ja
[mm] B=(x,y)|-a\le x\le [/mm] a, [mm] -b\wurzel{1-\bruch{x²}{a²}}\le y\le b\wurzel{1-\bruch{x²}{a²}} [/mm]
sein.
Dadurch ergibt sich in deiner Gleichung für das 1. Integral praktisch ein Doppelintegral.
Würde entsprechend dann so aussehen
[mm] \mu(Z)=\integral_{-a}^{a}{\integral_{-b\wurzel{1-\bruch{x²}{a²}}}^{b\wurzel{1-\bruch{x²}{a²}}}{dy dx}} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{px+qy+r}{dz}
[/mm]
Entsprechend würde ich dann halt das 1. Doppelintegral erst nach x integrieren dann nach y. (oder? bin mir da nicht ganz sicher in welcher Reihenfolge???)
Das hintere Integral nach z
Dann beide multiplizieren.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 So 26.10.2014 | | Autor: | andyv |
> okay ich glaube das hab ich jetzt verstanden. Hab mir auch
> gerade das Skript neben mich gelegt und ja.
>
> Wenn ich mich da jetzt auch nicht allzu sehr irre dürfte B
> hoffe ich dann ja
> [mm]B=(x,y)|-a\le x\le[/mm] a, [mm]-b\wurzel{1-\bruch{x²}{a²}}\le y\le b\wurzel{1-\bruch{x²}{a²}}[/mm]
> sein.
Die Quadrate sind dir hier leider abhanden gekommen.
> Dadurch ergibt sich in deiner Gleichung für das 1.
> Integral praktisch ein Doppelintegral.
>
> Würde entsprechend dann so aussehen
>
> [mm]\mu(Z)=\integral_{-a}^{a}{\integral_{-b\wurzel{1-\bruch{x²}{a²}}}^{b\wurzel{1-\bruch{x²}{a²}}}{dy dx}}[/mm]
> * [mm]\integral_{0}^{px+qy+r}{dz}[/mm]
>
> Entsprechend würde ich dann halt das 1. Doppelintegral
> erst nach x integrieren dann nach y. (oder? bin mir da
> nicht ganz sicher in welcher Reihenfolge???)
> Das hintere Integral nach z
> Dann beide multiplizieren.
>
> Stimmt das so?
Nein, erst über z integrieren, dann das Ergebnis über y.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 So 26.10.2014 | | Autor: | Teryosas |
Nachdem ich das gerade mal durchgerechnet habe komm ich auf ein Ergebnis von
[mm] \mu(Z)=\pi [/mm] abr
sollte denke stimmen. ist ja ein "schönes" Ergebnis. Oder?
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> Nachdem ich das gerade mal durchgerechnet habe komm ich auf
> ein Ergebnis von
> [mm]\mu(Z)=\pi[/mm] abr
> sollte denke stimmen. ist ja ein "schönes" Ergebnis.
> Oder?
Falls du das auf die umständliche Art mittels Dreifach-
Integration berechnet haben solltest: Chapeau für das
Durchstehen der Ochsentour !
Wenn du hingegen meinem Tipp mit der Umwandlung
des schräg abgeschnittenen Zylinders in einen volumen-
gleichen geraden elliptischen Zylinder folgst, kannst du
das Ergebnis
[mm] $\mu(Z)\ [/mm] =\ [mm] \pi*a*b*r$
[/mm]
eigentlich ohne Weiteres hinschreiben (sogar ohne eine
Zeichnung zu erstellen), falls du über ein gewisses
Vorstellungsvermögen verfügst. Die Ellipsenscheibe mit den
Halbachsen a und b hat einen Flächeninhalt von [mm] $\pi*a*b$ [/mm] ,
und der darüber errichtete gerade Zylinder mit der
Höhe r hat das Volumen $\ V\ =\ [mm] \pi*a*b*r$ [/mm] .
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Teryosas |
wuhu :D
Alles kla :)
Vielen Dank für die Hilfe!
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> Berechnen Sie das Volumen [mm]\mu(Z)[/mm] des Zylinders
> [mm]Z\subseteq\IR^3[/mm]
> - mit der seitlichen Begrenzung
> [mm]\bruch{x²}{a²}+\bruch{y²}{b²}=1[/mm]
> - der Ebene z=0 als untere Begrenzung
> - und der Ebene z=px+qy+r als obere Begrenzung
> Dabei sind a,b,p,q,r reelle Konstanten mit a>0 und b>0 und
> p,q,r sind so gewählt dass die obere Begrenzung des
> Zylinders oberhalb der x,y-Ebene liegt.
> Diese Aufgabe gilt es zu bearbeiten und bin mir noch etwas
> unsicher wie genau ich das anpacken soll weil das Skript
> dazu mal wieder nicht sonderlich viel hergibt, zumindest in
> meinen Augen.
>
> Also der Abstand der beiden Ebenen dürfte ja die Höhe
> sein. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Welche Ebenen meinst du denn da ? Die Ebenen mit
den Gleichungen z=0 und z=px+qy+r sind im Allge-
meinen nicht parallel und haben deshalb auch keinen
"Abstand", den man mittels Hesse-Normalform berechnen
könnte.
> r sollte, soweit ich das rausgelesen habe, der Radius sein.
> Diesen dürfte ich ja über die seitlichen Begrenzungen
> erlangen.
Der Zylinder ist kein Kreiszylinder (falls [mm] a\not= [/mm] b) und
hat deshalb auch keinen konstanten Radius.
Die Aufgabe ist aber in gewissem Sinne viel einfacher
als man denkt, wenn man sich eine Symmetrieüber-
legung zunutze macht. Wenn man nämlich den gegebenen
Zylinder mit elliptischem Querschnitt, der unten durch
die Ebene z=0 (welche zur Zylinderachse und zu dessen
Mantellinien orthogonal verläuft) und oben durch eine
im Allgemeinen "schräg" liegende Ebene begrenzt ist,
betrachtet, so kann man auf eine einfache Idee kommen,
wie man diesen Zylinder in einen gleich großen Zylinder
mit zwei parallelen Begrenzungsebenen verwandeln kann.
Diese Idee ist ganz analog zur Idee, nach welcher man
z.B. den Flächeninhalt eines Trapezes auf den eines
dazu flächengleichen Rechtecks zurückführen kann.
Mit dieser Idee kann man sich dann die ganze (lästige)
Integriererei eigentlich ersparen !
LG , Al-Chw.
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