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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Mi 29.05.2013 | | Autor: | orell |
Nabend,
ich habe eine eigentlich ziemlich banale Frage zum Zylinderkoordinatensystem. Es geht um die zwei Vektoren [mm] \vec{UT} [/mm] und [mm] \vec{SR}.
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Zeichnung
[mm] \vec{UT} [/mm] = [mm] \vec{r}_{T} [/mm] - [mm] \vec{r}_U [/mm] = [mm] \pmat{ a \\ 0 \\0 }
[/mm]
[mm] \vec{SR} [/mm] = [mm] \vec{r}_{R} [/mm] - [mm] \vec{r}_S [/mm] = [mm] \pmat{ a \\ 0 \\0 }
[/mm]
Frage,Feststellung:
Erstens:
Bei einem radialen Vektor, sind die [mm] \varphi [/mm] und die z- Komponenten beide Null.
Zweitens:
Die beiden Vektoren [mm] \vec{UT} [/mm] und [mm] \vec{SR} [/mm] sind im Zylinderkoordinatensystem beide identisch (obwohl sie in eine andere Richtung zeigen).
Wenn man sich die Vektoren als "Schiebung" vorstellt - dann macht dies auch anschaulich Sinn - es erfolgt eine Bewegung in r-Richtung, wobei [mm] \varphi [/mm] und z unverändert bleiben.
Sind diese Überlegungen so richtig?
Ich denke diese Frage ist eigentlich viel zu trivial für dieses Forum, ich wäre aber dennoch sehr froh, wenn mir jemand antworten könnte.
Vielen Dank schon jetzt
Orell
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Nabend,
>
> ich habe eine eigentlich ziemlich banale Frage zum
> Zylinderkoordinatensystem. Es geht um die zwei Vektoren
> [mm]\vec{UT}[/mm] und [mm]\vec{SR}.[/mm]
>
> Zeichnung
>
> [mm]\vec{UT}[/mm] = [mm]\vec{r}_{T}[/mm] - [mm]\vec{r}_U[/mm] = [mm]\pmat{ a \\ 0 \\0 }[/mm]
>
> [mm]\vec{SR}[/mm] = [mm]\vec{r}_{R}[/mm] - [mm]\vec{r}_S[/mm] = [mm]\pmat{ a \\ 0 \\0 }[/mm]
>
> Frage,Feststellung:
> Erstens:
> Bei einem radialen Vektor, sind die [mm]\varphi[/mm] und die z-
> Komponenten beide Null.
Hallo,
nein!
Zylinderkoordinaten sind doch so:
[mm] x=r*cos\varphi
[/mm]
[mm] y=r*sin\varphi
[/mm]
z=z
[mm] \varphi [/mm] ist der Winkel zwischen x-Achse und der Projektion des Vektors auf die xy-Ebene, r die Länge der Projektion des Vektors auf die xy-Ebene
Bei Dir wäre also [mm] \overrightarrow{UT}=\vektor{r*cos(45^o)\\r*sin(45^o)\\0}, [/mm] sofern er in der xy-Ebene liegt.
Hat der kl. Kreis den Radius 1, so haben wir hier [mm] r\approx [/mm] 2.5
LG Angela
> Zweitens:
> Die beiden Vektoren [mm]\vec{UT}[/mm] und [mm]\vec{SR}[/mm] sind im
> Zylinderkoordinatensystem beide identisch (obwohl sie in
> eine andere Richtung zeigen).
> Wenn man sich die Vektoren als "Schiebung" vorstellt -
> dann macht dies auch anschaulich Sinn - es erfolgt eine
> Bewegung in r-Richtung, wobei [mm]\varphi[/mm] und z unverändert
> bleiben.
>
> Sind diese Überlegungen so richtig?
>
>
> Ich denke diese Frage ist eigentlich viel zu trivial für
> dieses Forum, ich wäre aber dennoch sehr froh, wenn mir
> jemand antworten könnte.
>
> Vielen Dank schon jetzt
> Orell
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:44 Mi 29.05.2013 | | Autor: | orell |
Hallo,
Vielen Dank für deine Antwort.
> Zylinderkoordinaten sind doch so:
>
> [mm]x=r*cos\varphi[/mm]
> [mm]y=r*sin\varphi[/mm]
> z=z
Sind das nicht die kartesischen Koordinaten?
Zylinderkoordinaten:
[mm] \pmat{r &= &Radius \\ \varphi &= &Ebenenwinkel \\ z &= &Hoehe }
[/mm]
Für den Vektor [mm] \vec{UT} [/mm] gilt: "Spitze minus Schaft" [mm] \vec{T} [/mm] - [mm] \vec{U}
[/mm]
[mm] \vec{UT} [/mm] = [mm] \pmat{r_{T} - r_{U} \\ \varphi_{T} - \varphi_{U} \\ z_{T} - z_{U}} [/mm] = [mm] \pmat{\Delta_{r} \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Und für den Vektor [mm] \vec{SR} [/mm] gilt das Selbe.
Darum sind die beiden Vektoren in Zylinderkoordinten identisch.
Wenn ich die Vektoren mit kartesichen Koordinaten darstelle, dann erhalte ich natürlich 2 verschiedene Vektoren.
Ist dies so nicht richtig? Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank für eure Tipps schon jetzt
Orell
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mi 29.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
> > Zylinderkoordinaten sind doch so:
> >
> > [mm]x=r*cos\varphi[/mm]
> > [mm]y=r*sin\varphi[/mm]
> > z=z
>
> Sind das nicht die kartesischen Koordinaten?
Nein. Das sind Zylinderkoordinaten
>
>
> Zylinderkoordinaten:
> [mm]\pmat{r &= &Radius \\ \varphi &= &Ebenenwinkel \\ z &= &Hoehe }[/mm]
>
> Für den Vektor [mm]\vec{UT}[/mm] gilt: "Spitze minus Schaft"
> [mm]\vec{T}[/mm] - [mm]\vec{U}[/mm]
>
> [mm]\vec{UT}[/mm] = [mm]\pmat{r_{T} - r_{U} \\ \varphi_{T} - \varphi_{U} \\ z_{T} - z_{U}}[/mm]
> = [mm]\pmat{\Delta_{r} \\ 0 \\ 0}[/mm]
Das stimmt doch nicht !
Es ist (in Zylinderkoordinaten):
[mm] \vec{UT}=\vektor{\Delta r \\ \phi_1 \\ 0}
[/mm]
mit einem Winkel [mm] \phi_1, [/mm] der etwa = [mm] \pi/4 [/mm] ist
>
> Und für den Vektor [mm]\vec{SR}[/mm] gilt das Selbe.
nein.
Es ist [mm] \vec{SR}=\vektor{\Delta r \\ \phi_2 \\ 0} [/mm] mit [mm] \phi_1>\phi_1
[/mm]
FRED
>
> Darum sind die beiden Vektoren in Zylinderkoordinten
> identisch.
> Wenn ich die Vektoren mit kartesichen Koordinaten
> darstelle, dann erhalte ich natürlich 2 verschiedene
> Vektoren.
>
> Ist dies so nicht richtig? Wo liegt mein Fehler?
>
> Vielen Dank für eure Tipps schon jetzt
> Orell
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mi 29.05.2013 | | Autor: | orell |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort! Auch auf die Gefahr hin mich vollends zu blamieren, wage ich es trotzdem nochmals zu fragen.
Erstens:
> [mm]x=r*cos\varphi[/mm]
> [mm]y=r*sin\varphi[/mm]
> z=z
> Das sind Zylinderkoordinaten
Warum sind das Zylinderkoordinaten? Hier gebe ich doch die Länge der x-Basis, die Länge der y-Basis und die Länge der z-Basis an, d.h. es handelt sich um kartesische Koordinaten.
Bei Zylinderkoordintaten wird doch der erste Basisvektor mit der Ebenenprojektion der Länge multipliziert, der zweite Basisvektor mit dem Ebenenwinkel, und der 3 Basisvektor mit der Länge in z-Richtung.
Wo liegt hier mein Fehler?
Zweitens
Was stimmt an meiner Rechnung zum Vektor [mm] \vec{UT} [/mm] doch nicht?
Neue Zeichnung
1.Schritt
Ortsvektor [mm] \vec{U} [/mm] = [mm] \pmat{2\\50^{\circ}\\0}
[/mm]
2.Schritt
Ortsvektor [mm] \vec{T} [/mm] = [mm] \pmat{3.5\\50^{\circ}\\0}
[/mm]
3.Schritt
[mm] \vec{UT} [/mm] = [mm] \vec{T} [/mm] - [mm] \vec{U} [/mm] = [mm] \pmat{3.5-2\\50^{\circ}-50^{\circ}\\0-0} [/mm] = [mm] \pmat{1.5\\0\\0}
[/mm]
Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand einen Tipp gegen könnte, wo hier mein Fehler liegt.
Ich bedanke mich für eure Hilfe und Geduld.
mfG
Orell
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> Hallo,
>
> vielen Dank für die Antwort! Auch auf die Gefahr hin mich
> vollends zu blamieren, wage ich es trotzdem nochmals zu
> fragen.
Hallo,
blamieren kannst Du Dich hier nicht.
Ich glaube, ich beginne inzwischen zu verstehen, was Dich umtreibt.
>
> Erstens:
>
> > [mm]x=r*cos\varphi[/mm]
> > [mm]y=r*sin\varphi[/mm]
> > z=z
> > Das sind Zylinderkoordinaten
>
> Warum sind das Zylinderkoordinaten? Hier gebe ich doch die
> Länge der x-Basis, die Länge der y-Basis und die Länge
> der z-Basis an, d.h. es handelt sich um kartesische
> Koordinaten.
Wir betrachten einen Punkt P, welcher durch die Angabe [mm] (r,\varphi,z) [/mm] bestimmt ist.
Sein Ortsvektor ist der Vektor [mm] \vec{r}(r,\varphi,z)=r\cos\varphi*\vec{e_x}+r\sin\varphi*\vec{e_y}+z*\vec{e_z},
[/mm]
bzgl der festen Basis [mm] E=(\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z}) [/mm] schreibt man dies auch als Koordinatenvektor bzgl. E:
[mm] \vec{r}(r,\varphi,z)=\vektor{r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z}.
[/mm]
>
> Bei Zylinderkoordintaten wird doch der erste Basisvektor
> mit der Ebenenprojektion der Länge multipliziert, der
> zweite Basisvektor mit dem Ebenenwinkel, und der 3
> Basisvektor mit der Länge in z-Richtung.
>
> Wo liegt hier mein Fehler?
Genau hier.
Wenn wir in Zylinderkoordinaten rechnen, haben wir kein festes Koordinatensystem wie bei den Kartesischen Koordinaten. Wir haben hier keine feste(!) Basis [mm] B=(\vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3}).
[/mm]
Daher können wir nicht sagen:
Der Ortsvektor des durch [mm] r,\varphi [/mm] und z beschriebenen Punktes ist der Vektor [mm] \vec{r}(r,\varphi,z)=r*\vec{b_1}+\varphi*\vec{b_2}+z*\vec{b_3}.
[/mm]
Sondern:
wir haben hier eine nur lokal definierte ONB, welche sich von Punkt zu Punkt ändert, also eine völlig andere Situation.
Diese lokalen Basiseinheitsvektoren im durch [mm] (r,\varphi, [/mm] z) beschriebenen Punkt sind die Vektoren
[mm] \vec{e_r}=\cos\varphi \vec{e_x}+\sin\varphi*\vec{e_y},
[/mm]
[mm] \vec{e_{\varphi}}=-\sin\\varphi \vec{e_x}+\cos\varphi*\vec{e_y},
[/mm]
[mm] \vec{e_z}=\vec{e_z}.
[/mm]
Die lokalen Basisvektoren [mm] \vec{e_r} [/mm] und [mm] \vec{e_{\varphi}} [/mm] hängen von [mm] \varphi [/mm] ab.
Möchten wir den Ortsvektor des durch [mm] (r,\varphi, [/mm] z) beschriebenen Punktes mithilfe dieses lokalen Koordinatensystemes schreiben, so haben wir
[mm] \vec{r}(r,\varphi,z)=r*\vec{e_r}+0*\vec{e_{\varphi}}+z*\vec{e_z}.
[/mm]
[mm] (r,\varphi, [/mm] z) ist eine Aneinandereihung der Daten, die den Punkt beschreiben. Es ist kein Koordinatenvektor bzgl irgendeiner Zylinderbasis!
> Zweitens
> Was stimmt an meiner Rechnung zum Vektor [mm]\vec{UT}[/mm] doch
> nicht?
U ist beschrieben durch (2,50°,0),
T durch (3.5, 50°,0).
Es ist
[mm] \overrigtarrow{0U}=2*\vec{e_r}+0*\vec{e_{\varphi}}+0*\vec{e_z},
[/mm]
[mm] \vec{e_r}=\vektor{cos 50°\\sin 50°\\0}.
[/mm]
Da der T beschreibende Winkel genauso ist wie bei U, haben wir hier dasselbe lok. Koordinatensystem, es ist
[mm] \overrigtarrow{0T}=3.5*\vec{e_r}+0*\vec{e_{\varphi}}+0*\vec{e_z},
[/mm]
und für [mm] \overrightarrow{UT} [/mm] bekommen wir
[mm] \overrightarrow{UT}=[2*\vec{e_r}+0*\vec{e_{\varphi}}+0*\vec{e_z}]-[3.5*\vec{e_r}+0*\vec{e_{\varphi}}+0*\vec{e_z}]
[/mm]
[mm] =1.5*\vec{e_r}+0*\vec{e_{\varphi}}+0*\vec{e_z}
[/mm]
[mm] =1.5*\vektor{cos 50°\\sin 50°\\0}.
[/mm]
Paßt.
Jetzt aber mal etwas, was nicht funktioniert:
Wir nehmen noch den durch (1, 10°, 0) beschriebenen Punkt S dazu.
[mm] \overrigtarrow{0S}=1*\vec{e_{r'}}+0*\vec{e_{\varphi'}}+0*\vec{e_z},
[/mm]
[mm] \vec{e_r}=\vektor{cos 10°\\sin 10°\\0}.
[/mm]
Hier können wir für [mm] \overrightarrow{ST} [/mm] nicht "einfach so" subtrahieren, denn [mm] \vec{e_{r'}} [/mm] und [mm] \vec{e_{r}} [/mm] sind verschiedene Vektoren.
Man muß hier den Weg über über die Darstellung bzgl. [mm] E=(\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z}) [/mm] gehen.
Keinesfalls bekommst Du [mm] \overrightarrow{ST}, [/mm] indem Du (3.5, 50°,0) - (1, 10°, 0) rechnest.
Wie zuvor erwähnt: diese Angaben sind Aufreihungen, keine Koordinatenvektoren bzgl irgendeiner Zylinderbasis.
Ich hoffe, daß ich mich ein wenig verständlich machen konnte.
LG Angela
>
> Neue Zeichnung
>
> 1.Schritt
> Ortsvektor [mm]\vec{U}[/mm] = [mm]\pmat{2\\50^{\circ}\\0}[/mm]
>
> 2.Schritt
> Ortsvektor [mm]\vec{T}[/mm] = [mm]\pmat{3.5\\50^{\circ}\\0}[/mm]
>
> 3.Schritt
> [mm]\vec{UT}[/mm] = [mm]\vec{T}[/mm] - [mm]\vec{U}[/mm] =
> [mm]\pmat{3.5-2\\50^{\circ}-50^{\circ}\\0-0}[/mm] =
> [mm]\pmat{1.5\\0\\0}[/mm]
>
> Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand einen Tipp gegen
> könnte, wo hier mein Fehler liegt.
>
> Ich bedanke mich für eure Hilfe und Geduld.
>
> mfG
> Orell
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Do 30.05.2013 | | Autor: | orell |
Liebe Angela,
vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort! Jetzt habe ich es endlich kapiert, jetzt werden mir auch Dinge klar die ich vorher nicht genau verstanden habe - wunderbar.
vielen Dank nochmals
Orell
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Mi 29.05.2013 | | Autor: | abakus |
Hallo,
deine Zeichnung ist relativ nichtssagend.
Für Zylinderkoordinaten brauchst du ein dreidimensionales Koordinatensystem.
Sollen die beiden Vektoren in einer der Koordinatenebenen liegen?
Wenn ja, welche der 3 Koordinatenebenen hast du gezeichnet?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:09 Mi 29.05.2013 | | Autor: | orell |
Hallo Abakus,
Die Zeichnung soll den Raduis der Vektoren im Zylinderkoordinatensystem zeigen, sie liegen also in einer Ebene mit z=0.
Orell
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Zeichnung![[]](http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/basiscqasp734kfo.jpg){kind=small}
Neue Zeichnung