Zylinder und die Fläche < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Fr 18.11.2011 | | Autor: | lzaman |
Hallo, ich versuche gerade die Rechnung einer Aufgabe zur verstehen, und dort habe ich stehen:
[mm]\oint \oint \vec{D} \cdot \vec{n} \ dA=\red{-}|\vec{D}|2\pi r l[/mm]
Es handelt sich hier um einen Zylinder, an dem die positiven Ladungen an der Aussenelektrode sind und die negativen Ladungen sich an der Innenelektrode befinden. Einiges kann ich mir schon erklären. Das [mm]\red{-}[/mm] ist wegen dem cos von [mm] \pi [/mm] enstanden. Aber wieso ist ein Doppelintegral nach der Zylinderfläche die Mantefläche? (Das will mir nicht in meinen Kopf gehen). Wird hier etwa nach dem Volumen integriert? Wenn ja, wie? Gibt es dafür eine simple Erklärung, oder muss ich mir das einfach nur merken?
P.S. leider kann ich mit dem Formeleditor kein geschlossenes Doppelintegral realisieren. Vielleicht kennt ihr eine Möglichkeit dies im Forum hier darzustellen...
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Fr 18.11.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo, ich versuche gerade die Rechnung einer Aufgabe zur
> verstehen, und dort habe ich stehen:
>
> [mm]\oint \oint \vec{D} \cdot \vec{n} \ dA=\red{-}|\vec{D}|2\pi r l[/mm]
es wäre hilfreich, wenn Du die ganze Aufgabe angibst. Denn ohne genauere Angaben zu [mm] $\vec{D}$ [/mm] und der Fläche über die integriert wird kann man nur mutmaßen...
>
> Es handelt sich hier um einen Zylinder, an dem die
> positiven Ladungen an der Aussenelektrode sind und die
> negativen Ladungen sich an der Innenelektrode befinden.
Das verstehe ich nicht. Ein Zylinder hat eigentlich keine Elektroden. Das musst Du genauer erklären.
> Einiges kann ich mir schon erklären. Das [mm]\red{-}[/mm] ist wegen
> dem cos von [mm]\pi[/mm] enstanden. Aber wieso ist ein
> Doppelintegral nach der Zylinderfläche die Mantefläche?
Dass ein Doppelintegral anschaulich eine Fläche beschreibt sollte klar sein, denn eine Fläche ist ein zweidimensionales Objekt. Wieso die Mantelfläche rauskommt wird Dir niemand sagen können, ohne genaue Aufgabenstellung.
> (Das will mir nicht in meinen Kopf gehen). Wird hier etwa
> nach dem Volumen integriert? Wenn ja, wie? Gibt es dafür
Nein, ein Volumen ist ein dreidimensionales 'Objekt', also ist auch ein Dreifachintegral nötig.
> eine simple Erklärung, oder muss ich mir das einfach nur
> merken?
>
> P.S. leider kann ich mit dem Formeleditor kein
> geschlossenes Doppelintegral realisieren. Vielleicht kennt
> ihr eine Möglichkeit dies im Forum hier darzustellen...
Der LaTeX-Asudruck sieht so aus: \ o i i n t (ohne Leerzeichen)
Aber das wird hier im Forum irgendwie nicht erkannt.
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> Danke
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>
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Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 18.11.2011 | | Autor: | lzaman |
Sorry, du hast recht. Es handelt sich natürlich um einen Zylinderkondensator.
Im Bild ist es besser zu sehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und nun würde ich gerne wissen, wieso das Integral eine Mantelfläche liefert? Ist es mathematisch auch so? Ich bremse mich nämlich immer damit aus, dass man nach einer Integration die nächst höhere Dimension erreicht, also ein Volumen im Falle einer Fläche...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Fr 18.11.2011 | | Autor: | notinX |
> Sorry, du hast recht. Es handelt sich natürlich um einen
> Zylinderkondensator.
>
> Im Bild ist es besser zu sehen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Und nun würde ich gerne wissen, wieso das Integral eine
> Mantelfläche liefert? Ist es mathematisch auch so? Ich
> bremse mich nämlich immer damit aus, dass man nach einer
> Integration die nächst höhere Dimension erreicht, also
> ein Volumen im Falle einer Fläche...
Du hast immeroch keine Angaben zu Feld [mm] $\vec{D}$ [/mm] gemacht...
Aber zu Deiner Frage: Ist doch klar, dass bei einem Flächenintegral eine Fläche rauskommt. Was soll denn sonst rauskommen?
Wenn Du das Doppelintegral [mm] $\int_0^a\int_0^b\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ [/mm] ausrechnest erhältst Du die Fläche des Rechtecks [mm] $A=a\cdot [/mm] b$
Das Feld innerhalb des Kondensators ist in der Regel proportional zu [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] D.h. [mm] $\vec{D}=\frac{k}{r}\cdot\vec{e}_r$ [/mm] wobei k irgendeine Konstante ist.
Dann ist [mm] $\iint\vec{D}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}A=\int_0^{2\pi}\int_0^l\frac{k}{r}\cdot\vec{e}_r\cdot\vec{n}\,r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=2\pi [/mm] lk$
Das Vorzeichen hängt vom Normalenvektor ab und ist reine Konvention.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Fr 18.11.2011 | | Autor: | lzaman |
Hey super Danke, das wars erstmal.
Ich wollte mir das mal verständlich in den Kopf hämmern...
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