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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Zylinder, liegend
Zylinder, liegend < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Zylinder, liegend: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Fr 17.09.2004
Autor: urbi

    * Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Kann ich den z.B. flüssigen Inhalt eines liegenden nicht vollgefüllten Zylinders mit Hilfe der Füllhöhe berechnen?

        
Bezug
Zylinder, liegend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:52 Sa 18.09.2004
Autor: Leopold_Gast

Es seien

r = Grundkreisradius
l = Zylinderhöhe
h = Wasserstandshöhe

Um die Füllmenge [mm]V(h)[/mm] bis zur Höhe h zu berechnen, muß man den Inhalt [mm]F(h)[/mm] des vom Wasser benetzten Teils des Grundkreises mit der Zylinderhöhe multiplizieren:

V(h) = F(h)·l

Die zu berechnende Fläche ist ein Kreissegment. Es setzt sich zusammen aus einem Kreissektor, von dem eine Dreiecksfläche abzuziehen ist. Bis auf Rechenfehler gilt

[mm]F(h)=r^2 \cdot \arccos\left( 1-\frac{h}{r} \right) - (r-h) \cdot \sqrt{2rh-h^2}[/mm]

Und wenn man das Verhältnis [mm]\tau=\tau(h)=\frac{r-h}{r}[/mm] einführt, schreibt sich das Ganze noch etwas eleganter als

[mm]F(h)=r^2 \left( \arccos{\tau}-\tau \sqrt{1-\tau^2} \right)[/mm]

Die Arcuscosinuswerte sind im Bogenmaß (Taschenrechner: mit DRG-Taste RAD einstellen) zu berechnen.

Vielleicht kann das ja einmal jemand nachrechnen, ob das stimmt.

Bezug
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